Ένα θέμα στα Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής (Γενικής Παιδείας) Γ΄Λυκείου

Θεωρούμε την πραγματική σταθερά $\lambda$ και τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)=e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle f''(x)=2f(x)+f'(x)$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι $\lambda =1$ και να εξετάσετε αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.

Β. Να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{2x}}{xe^{2x}}$ .

Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο $M(\alpha ,f(\alpha ))$ , με $\alpha >-1$ , και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση $\displaystyle E(\alpha )=\frac{f(\alpha )\left ( \alpha +1 \right )^{2}}{2}$ . Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ $\alpha$ , ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.

Δ. Να δείξετε ότι για κάθε $x_{i}>-1$ , με $i=1,2,...,\nu$ , ισχύει η σχέση $\displaystyle \nu -x_{1}-x_{2}-...-x_{\nu }\leq \sum_{i=1}^{\nu }f\left ( x_{i} \right )\leq \frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+...+\frac{1}{x_{\nu }+1}$