Θεωρούμε την πραγματική σταθερά και τη συνάρτηση
, για την οποία ισχύει
, για κάθε
.
A. Να δείξετε ότι και να εξετάσετε αν η συνάρτηση
παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.
Β. Να υπολογίσετε το .
Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο
, με
, και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση
. Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ
, ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.
Δ. Να δείξετε ότι για κάθε , με
, ισχύει η σχέση
Πηγή: mathematica