Ένα θέμα στα Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής (Γενικής Παιδείας) Γ΄Λυκείου

liveyourmaths Leave a comment

Θεωρούμε την πραγματική σταθερά \lambda και τη συνάρτηση  \displaystyle f(x)=e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x},  για την οποία ισχύει \displaystyle f''(x)=2f(x)+f'(x), για κάθε x\in \mathbb{R}.

A. Να δείξετε ότι \lambda =1 και να εξετάσετε αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.

Β. Να υπολογίσετε το \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{2x}}{xe^{2x}}.

Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M(\alpha ,f(\alpha )), με \alpha >-1, και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση \displaystyle E(\alpha )=\frac{f(\alpha )\left ( \alpha +1 \right )^{2}}{2}. Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ \alpha, ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.

Δ. Να δείξετε ότι για κάθε x_{i}>-1, με i=1,2,...,\nu, ισχύει η σχέση \displaystyle \nu -x_{1}-x_{2}-...-x_{\nu }\leq \sum_{i=1}^{\nu }f\left ( x_{i} \right )\leq \frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+...+\frac{1}{x_{\nu }+1}

Πηγή: mathematica

 

Leave a Reply