Α’ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 2016

Πρόβλημα 1

(α) Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{x}$ , για την οποία ισχύει η σχέση: $\displaystyle{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{23}{30}+2x=30}$

(β) Ο Ανδρέας τελειώνει μία εργασία σε $\displaystyle{10}$ μέρες και ο Βασίλης για να τελειώσει την ίδια εργασία χρειάζεται $\displaystyle{15}$ μέρες. Ο Ανδρέας εργάζεται μόνος του για $\displaystyle{4}$ μέρες και μετά αποχωρεί. Πόσες μέρες θα χρειαστεί ο Βασίλης για να τελειώσει το υπόλοιπο μέρος της εργασίας αυτής;

Πρόβλημα 2

(α) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί τελειώνουν σε $\displaystyle{1, 2}$ ή $\displaystyle{4}$ , αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου;

(β) Σε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ , το σημείο $\displaystyle{X}$ βρίσκεται στη $\displaystyle{BC}$ έτσι, ώστε $\displaystyle{\left(CX\right)=2\left(BX\right)}$ και το σημείο $\displaystyle{Y}$ βρίσκεται στη $\displaystyle{AB}$ έτσι, ώστε $\displaystyle{\left(AY\right)=3\left(BY\right)}$ . Αν το τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{144\;cm^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{BXY}}$ .

Πρόβλημα 3

Ένα δέντρο φυτεύτηκε την $\displaystyle{01/01/2000}$ και είχε ύψος $\displaystyle{50\;cm}$ . Την πρώτη χρονιά μεγάλωσε κατά το $\displaystyle{\dfrac{1}{2}}$ του ύψους που είχε την $\displaystyle{01/01/2000}$ , τη δεύτερη χρονιά μεγάλωσε κατά το $\displaystyle{\dfrac{1}{3}}$ του ύψους που είχε την $\displaystyle{01/01/2001}$ , την τρίτη χρονιά μεγάλωσε κατά το $\displaystyle{\dfrac{1}{4}}$ του ύψους που είχε την $\displaystyle{01/01/2002}$ , την τέταρτη χρονιά μεγάλωσε κατά το $\displaystyle{\dfrac{1}{5}}$ του ύψους που είχε την $\displaystyle{01/01/2003}$ και συνέχισε να μεγαλώνει με το ίδιο μοτίβο. Να βρείτε:

(α) το ύψος του δέντρου την $\displaystyle{01/01/2016}$

(β) τη χρονιά που κατά την $\displaystyle{1^{\eta}}$ Ιανουαρίου το ύψος του δέντρου θα είναι $\displaystyle{5\;m}$

Πρόβλημα 4

Ο Ανδρέας περπατά $\displaystyle{60\;m}$ ανά λεπτό και θέλει να περπατήσει από το σπίτι του μέχρι την είσοδο του Δημαρχείου της πόλης του. Όμως επειδή ήθελε να φτάσει $\displaystyle{15}$ λεπτά πιο γρήγορα, αύξησε την ταχύτητά του σε $\displaystyle{80\;m}$ ανά λεπτό. Να βρείτε την απόσταση από το σπίτι του Ανδρέα μέχρι την είσοδο του Δημαρχείου.

Πρόβλημα 5

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle{B\Gamma E}}$ και $\displaystyle{\vartriangle{\Gamma\Delta Z}}$ είναι $\displaystyle{12\;cm^2}$ και $\displaystyle{9\;cm^2}$ , αντίστοιχα. Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{72\;cm^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{E\Gamma Z}}$ .