Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που είχε βρεθεί μέχρι την 7 Ιανουαρίου 2016 είναι ο 257885161-1, ένας ασύλληπτα μεγάλος αριθμός καθώς εκτιμάται ότι αν κάθε αριθμητικό ψηφίο αντιστοιχεί σε ένα εκατοστό,ο αριθμός θα γραφόταν σε μια ταινία χαρτιού μήκους 160 χλμ. Στις 7 Ιανουαρίου 2016 το ρεκόρ ανανεωθηκε καθώς ανακαλύφτηκε ο 274207281-1 . Πόσα ψηφία έχουν τέτοια αριθμητικά τέρατα; Οι λογάριθμοι μας επιτρέπουν με ένα κοινό κομπιουτεράκι να βρούμε το ακριβές πλήθος των ψηφίων των δυο αριθμών.
Σκεφτείτε τον αριθμό 10 είναι διψήφιος ο αριθμός,ο 102 είναι τριψήφιος, ο 103είναι τετραψήφιος κ.ο.κ. Γενικά παρατηρούμε ότι ο αριθμός 10ν-1 είναι ν-ψηφιος αριθμός. Επειδή ο αριθμός 10ν αποτελείται από μια μονάδα και ν μηδενικά είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος με ν+1 ψηφία. Είναι προφανές λοιπόν ότι κάθε ακέραιος στο διάστημα [10ν-1 , 10ν ) έχει ν ψηφία. Όμως
log 10ν-1 =ν-1 , log 10ν =ν
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:
▪ Κάθε ν-ψήφιος αριθμός έχει λογάριθμο στο διάστημα [ν-1 , ν) .
Ή ισοδύναμα
▪ Αν Μ θετικός ακέραιος με ν ψηφία τότε ν-1<=logΜ<ν
Τα παραπάνω συμπεράσματα είναι εξαιρετικά χρήσιμα για να προσδιορίσουμε το πλήθος των ψηφίων ενός πολύ μεγάλου αριθμού.
Για παράδειγμα, ο αριθμός 52013.Πόσα ψηφία έχει;
Υπολογίζουμε το λογάριθμο
log 52013 =2013 log 5 = 701,5133
(log5 είναι περίπου 0,34948 )
Στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός 52013 έχει 702 ψηφία.
Επανερχόμαστε λοιπόν στο αρχικό ερώτημα. Το πλήθος των ψηφίων του257885161-1 είναι ακριβώς το ίδιο με το πλήθος των ψηφίων του 257885161 διότι κάθε δύναμη του 2 έχει τελευταίο ψηφίο 2,4,6 και 8 και όχι 0.
log257885161 =57885161 log2=17425169,7648 στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός257885161-1 έχει 17425170 ψηφία!!!
Ενημερωση(7/1/2016)
O 274207281-1 βρέθηκε στις 7 Ιανουαρίου 2016.
Το πλήθος των ψηφίων του 274,207,281-1 είναι ακριβώς το ίδιο με το πλήθος των ψηφίων του 274,207,281 διότι κάθε δύναμη του 2 έχει τελευταίο ψηφίο 2,4,6 και 8 και όχι 0.
log 274,207,281 =74207281 log2=22338617.4776658344871172 στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός 274,207,281-1 έχει 22338618 ψηφία !!!
log5=0.6989 με δεκαδική βάση
log5=0.34948 με βάση το 100
Γιατί να πάρουμε λογάριθμο με βάση το 100 για το παράδειγμα;
Ακόμα κι έτσι, 2013*0.34948=703.5, άρα πάει στα 704 ψηφία με αυτή τη λογική, όχι τα 702.