Επαναληπτικό Θέμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ΄Λυκείου!

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \Re \mapsto \Re$ , με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύουν:

$f(0)=1$ και $f'(0)=0$
$-f'(x)-f''(x)= e^{-x}$ , για κάθε $x \epsilon \Re$

α) Να βρείτε τον τύπο της $f$ καθώς επίσης και το σύνολο τιμών της.

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x>0$ ισχύει: $(f(x))^{2015}+ (f(x))^{2016}+(f(x))^{2017} \leq 3$

γ) Να υπολογίσετε το όριο: $\lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{f(x)}{cosx+2}$

δ) Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Εν συνεχεία, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας $AB$ όπου $A(1,f(1))$ και $B(2,f(2))$ και να αποδείξτε ότι για $x \epsilon (1,2)$ η γραφική παράσταση της $C_{f}$ της $f$ βρίσκεται κάτω από την ευθεία $AB$ .