Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄Λυκείου, μία άσκηση…γιορτινή!

Δίνεται η συνάρτηση με $f: R \to R$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=\frac{3x^2}{e^x}}$ .

1) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία

2) Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $3x^2=ae^x, a \in R$

Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση $g: R \to R$ ώστε: $\displaystyle{|g(x)-2x+4| \leq f(x), x \in R}$

i) Nα βρεθεί η ασύμπτωτη της στο $+\infty$

ii) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{g(x)ln(e^x-1)+x^2g(x)-2x^3}{x^2-x}}$

iii) Aν το εμβαδό μεταξύ της C_g , της ασύμπτωτης, της x=1 και το άξονα yy' τότε $\displaystyle{E \leq 6-\frac{15}{e}}$