Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ’ Λυκείου Θέμα!

Για την συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ ισχύει: $\displaystyle{f\left( x \right)\cdot {f}''\left( x \right)>{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$
και είναι $\displaystyle{f\left( 0 \right)=2}$ και $\displaystyle{{f}'\left( 0 \right)=1}$ .

Δ1. Να δείξετε ότι $\displaystyle{f\left( x \right)>0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Δ2. Να δείξετε ότι $\displaystyle{f\left( x \right)\ge x+2}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .

Δ3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right)=\ln \left( f\left( x \right) \right)}$ , $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ είναι κυρτή και $\displaystyle{f\left( x \right)\ge 2{{e}^{{}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .

Δ4. Να βρεθούν οι $\displaystyle{\alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ , ώστε $\displaystyle{f\left( \alpha \right)\cdot f\left( 2-\beta \right)=4\cdot {{e}^{1+\frac{\alpha -\beta }{2}}}}$ .

Δ5. Αν $\displaystyle{x,y,z\in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{x+y+z=0}$ να δείξετε ότι $\displaystyle{f\left( x \right)\cdot f\left( y \right)\cdot f\left( z \right)\ge 8}$ .

Δ6. Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\int_{\sqrt{2m}}^{\sqrt{2n}}{f\left( {{x}^{2}} \right)f\left( 2\ln x \right)}dx>4\left( {{e}^{n}}-{{e}^{m}} \right)}$ , για κάθε $\displaystyle{m,n>0}$ με $\displaystyle{m<n}$ .