Απόσπασμα από το βιβλίο του Σάκη Ροδίτη «Ο ΠΥΡΓΟΣ ΤΟΥ Β – ΜΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ», Εκδόσεις Ραδάμανθυς
Από το Κεφάλαιο: Η αίθουσα των αριθμών
«Καλέ μου Αλ, όταν μιλάς για άπειρη αγάπη μπορεί να εννοείς μια αόριστη ποσότητα της οποίας το μέγεθος έχει υπερβεί κάθε όριο; Ή μήπως εννοείς μια συγκεκριμένη ποσότητα η οποία μεγαλώνει αδιάκοπα αλλά μένει πάντα μικρότερη από αυτήν που ονομάζουμε άπειρη; Κι αυτό μήπως σημαίνει ότι εκτιμάς πώς εδώ στον πύργο θα μπούμε σε μια διαδικασία αγάπης χωρίς τέλος;»
«Όλοι μου οι φίλοι είναι ευγενικοί εκτός από τρεις. Εσένα, φυσικά και σ’ άφησα απ’ έξω. Όλοι μου οι φίλοι είναι γενναιόδωροι, εκτός από τέσσερις. Κι από εδώ σε άφησα απ’ έξω. Όλοι μου οι φίλοι είναι πλούσιοι, εκτός από πέντε. Εδώ δεν υπήρχε λόγος να σ’ αφήσω απ’ έξω. Άραγε πόσους φίλους έχω;» ρώτησε ο Αλ ξαπλώνοντας στο πρόχειρο κρεβάτι και αγνοώντας επιδεικτικά την, περί του απείρου, διάλεξή μου.
«Έχεις έναν τρόπο να μην απαντάς σε κρίσιμες, έστω και μόνο για μένα, ερωτήσεις. Δηλαδή όχι μόνο έναν τρόπο, αλλά έξι. Όσοι και οι φίλοι σου». Το γρίφο τύχαινε να τον ξέρω από παλιά. «Και τώρα αγαπημένε μου Εβαρίστ ένα ακόμη αίνιγμα: Αριθμός δεν είναι, γιατί για κάθε αριθμό υπάρχει ένας μεγαλύτερος. Ποσότητα βεβαίως και δεν είναι, γιατί δεν επιδέχεται ελάττωση κι αύξηση. Όμως είναι κριτήριο για οτιδήποτε πεπερασμένο. Τί είναι;»
«Αλ, καλέ μου φίλε, θα σου απαντήσω με μία ερώτηση: Άραγε οι κόκκοι της άμμου όλων των θαλασσών της Γης είναι άπειροι ή πεπερασμένοι;»
«Φυσικά και είναι πεπερασμένοι», έσπευσε να απαντήσει ο Αλ.
«Φίλε, την πάτησες. Αυτό που είπες είναι δίκοπο μαχαίρι. Τον γνωρίζεις τον Ζήνωνα τον Ελεάτη[1]; Άραγε η χελώνα να προπορεύεται του Αχιλλέα; Ή ο Αχιλλέας της χελώνας; Το μεγάλο ερώτημα. Ο Αχιλλέας, επειδή ξέρει πως τρέχει με δεκαπλάσια ταχύτητα από τη χελώνα, την αφήνει να προπορευτεί κατά ένα στάδιο. Στη συνέχεια προσπαθεί να την προφτάσει, αλλά διαπιστώνει με τρόμο ότι μέχρι να πάει έως εκεί που είναι η χελώνα αυτή έχει προχωρήσει περισσότερο (αρχικά το ένα δέκατο του σταδίου). Και αρχίζει μία αλυσίδα η οποία έχει άπειρα βήματα (ένα εκατοστό του σταδίου και μετά ένα χιλιοστό του σταδίου και μετά…) άρα;»
«Να το παράδοξο του Ζήνωνα. Ο Αχιλλέας δεν θα φθάσει ποτέ την χελώνα!» είπε με παιχνιδιάρικο ύφος ο Αλ και περίμενε. 
«Η μεγάλη μαθηματική μου γνώση», είπα με σπουδαίο ύφος για να πειράξω τον Αλ, «έχει μια απάντηση και για αυτό. Δηλαδή, αν υποθέσουμε ότι η χελώνα είναι 100 μέτρα μπροστά, όταν ο Αχιλλέας θα έχει πάει στα 100 μέτρα, η χελώνα θα βρίσκεται 10 μέτρα μπροστά του. Όταν διανύσει αυτά τα 10 μέτρα, η χελώνα θα βρίσκεται 1 μέτρο μπροστά του. Όταν διανύσει το 1 μέτρο, η χελώνα θα βρίσκεται 0,1 μέτρα μπροστά του. Όταν διανύσει τα 0,1 μέτρα η χελωνίτσα θα βρίσκεται 0,01 μέτρα μπροστά του. Επομένως, με την ίδια διαδικασία, ο Αχιλλέας θα υποστεί άπειρες ταπεινωτικές ήττες. Βέβαια σήμερα ξέρουμε ότι το άθροισμα 100+10+1+0.1+0.001+…=111,111… είναι ρητός αριθμός και προσδιορίζει το σημείο όπου ο Αχιλλέας θα περάσει τη χελώνα».
«Να ξέρετε ότι», ακούστηκε από κάποιο ηχείο η φωνή του γερο-σοφού, «ο Β. Russell είχε πει: Τα επιχειρήματα του Ζήνωνα σε κάποια τους μορφή έχουν δώσει τις βάσεις για όλες σχεδόν τις θεωρίες του χώρου και του απείρου που προτάθηκαν από την εποχή του έως τις ημέρες μας».
«Καθώς επίσης η μεγάλη εμπειρία μου έχει καταγράψει το ίδιο λάθος χιλιάδες φορές», είπα με το ίδιο σπουδαίο ύφος, χωρίς να σχολιάσω την απρόσμενη παρέμβαση του οικοδεσπότη του πύργου. «Άραγε αν προσθέσω αντί για κόκκους άμμου, άπειρους στο πλήθος θετικούς αριθμούς, τί αποτέλεσμα θα πάρω; Άπειρο ή πεπερασμένο; Αυτή είναι το πραγματικά μεγάλο ερώτημα φίλε μου και όχι η χελώνα με τον Αχιλλέα»…
…«Ρε συ Εβαρίστ δε σε καταλαβαίνω. Αυτά τα προβλήματα με το άπειρο και τις άπειρες ποσότητες ταλαιπωρούν από παλιά το ανθρώπινο πνεύμα. Είναι ανάγκη να ταλαιπωρήσουν κι εμάς βραδιάτικα; Έτσι θα χαλαρώσουμε για να κοιμηθούμε;»
«Ναι. Μη ξεχνάς, αφού η… ταλαιπωρία αυτή στάθηκε αφορμή για ορισμούς πολλών μαθηματικών θεωριών, γιατί να μη σταθεί αφορμή να λύσουμε κι εμείς το πρόβλημα της αϋπνίας; Πάρε με το μυαλό σου δύο ομόκεντρους κύκλους. Κάθε σημείο του μεγάλου κύκλου μέσω της ακτίνας που αντιστοιχεί στο σημείο, αντιστοιχεί και σε σημείο του μικρού κύκλου. Κι αυτό ισχύει κι αντιστρόφως για το μικρό κύκλο. Άρα έχουν τον ίδιο αριθμό σημείων».
«Από την άλλη όμως, είναι προφανές ότι ο μεγάλος κύκλος έχει περισσότερα σημεία από το μικρό», αντέταξε ο Αλ. «Άρα;»
«Φαίνεται λοιπόν πως αντέχεις κι άλλο μπέρδεμα», είπα στο φίλο μου. «Από τη μια γκρινιάζεις για να κοιμηθούμε κι από την άλλη… Άκου λοιπόν κι άλλο ένα παράδοξο: Έστω το άθροισμα της άπειρης σειράς S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1…… Κάποιος λοιπόν λέει: εγώ θα τα πάρω ανά δύο, S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+……..=0+0+0+0+……. άρα αυτό το άθροισμα ισούται με το μηδέν. Άλλος πάλι το βλέπει διαφορετικά: S=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-(1-1)-(1-1)……..=1-0-0-0-0-0-……. άρα αυτό το άθροισμα ισούται με το ένα».
«Κι ο Louitzi Guino Grandi[2] έδωσε μία Σολομώντεια λύση», συμπλήρωσε ο Αλ: «και υποστήριξε ότι επειδή οι τιμές για το άθροισμα 0 ή 1 είναι εξίσου πιθανές, τότε: S=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+……..)=1-S. Άρα S=1-S, άρα 2S=1, άρα S=½. Ένα είναι σίγουρο. Πρέπει να μελετήσουμε την ιστορία των μαθηματικών γιατί τα προβλήματα που εμφανίσθηκαν είναι παρόμοια με αυτά που αντιμετωπίζουν όλοι οι μη μυημένοι».
«Και σίγουρα η ιστορία των μαθηματικών είναι μια μορφή θεραπείας που μας βοηθά να συλλάβουμε τη σημασία και το νόημα των εννοιών και των θεωριών ενώ παράλληλα θεραπεύει την αϋπνία», είπα κλείνοντας το μάτι στον Αλ.
«Από την ύπαρξη λοιπόν και μόνο των παραπάνω είναι φανερό ότι η έννοια του απείρου είναι πάρα πολύ λεπτή. Οδηγεί σε παράδοξα κι έχει προβληματίσει πολύ τους συνανθρώπους μας, όπως βέβαια κι εμάς. Σίγουρα είναι αδύνατος ο εξοβελισμός του απείρου από τα μαθηματικά κι από την διδακτική τους… ας χαλαρώσουμε Εβαρίστ… αύριο μέρα είναι, ας τα ξανακουβεντιάσουμε».
«Καλά. Άσε μόνο να πω κι αυτό που αφορά την έρευνα του Piaget[3] για το άπειρο: Ρώτησε μικρά παιδιά για το πόσα σημεία μπορούμε να τοποθετήσουμε ανάμεσα σε δύο ορισμένα σημεία. Άκου Αλ τις απαντήσεις που έλαβε και ίσως φωτιστούν λίγο τα σκοτεινά βάσανά μας. Τα μικρότερα παιδιά έλεγαν ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε 10 σημεία. Όχι περισσότερα. Τα μεγαλύτερα, περνούσαν στα 30 σημεία κι αργότερα στα 100. Όμως στην ηλικία των 11-12 ετών λένε: μπορούμε να τοποθετήσουμε όσα θέλουμε».
«Επομένως, πρόκειται για δύο τρόπους τοποθέτησης του προβλήματος που είναι διαφορετικοί μεταξύ τους: Ο ένας τρόπος που είναι σχετικός προς την κοινή λογική λέει ότι ο γρήγορος Αχιλλέας θα φθάσει την αργοκίνητη χελώνα γιατί τείνει προς αυτή και την ξεπερνάει πολύ σε ταχύτητα. Ο άλλος τρόπος με την παρέμβαση του επαναληπτικού αλγόριθμου καταλήγει σε αριθμητικό παράδοξο, το οποίο οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο γοργοπόδαρος Αχιλλέας δεν θα μπορέσει να φθάσει ποτέ την αργοκίνητη χελώνα».
«Καλά πας Αλ. Έλα όμως που το μυαλό αρνείται το παράδοξο. Εκτός κι αν κάποιος, με ανεπτυγμένη μαθηματική σκέψη, το μυήσει στα μαθηματικά μονοπάτια».
Έγραψα στο χαρτί το άθροισμα που έδειχνε την αιώνια προσπάθεια του αυθάδη Αχιλλέα: 1 στάδιο + 1/10 του σταδίου, + 1/100 του σταδίου, +… Δηλαδή 1+0,1+0,01+0,001+0,0001+.. που ισούται με 1,1111111… που είναι περιοδικός αριθμός κι εύκολα αποδεικνύεται πως ισούται με 1 και 1/9. Εκεί ακριβώς είναι και η στιγμή όπου ο Αχιλλέας θα λυτρωθεί από την αγωνία του και θα περάσει τη χελώνα».
«Τότε να σου πω κι εγώ ένα γρίφο σχετικό με τη δυσκολία που εντόπισες. Φτάνει να μου υποσχεθείς πως αμέσως μετά θα βάλεις ένα χαλαρωτικό μουσικό κομμάτι και θα κοιμηθούμε. Λοιπόν: ο εκκεντρικός βασιλιάς της Δουκαμηλάνδης έκανε την εξής βαρυσήμαντη δήλωση… Χαρίζω το βασίλειό μου σε όποιον κατορθώσει να δώσει την πιο μεγάλη χρηματική ή άλλη αξία που όμως να είναι μικρότερη από 2 δουκαμηλόνια. Εσύ, τί λες; Κινδυνεύει να χάσει το βασίλειό του;»
«Να σου πω. Οι πιθανές απαντήσεις που μπορούν να δοθούν νομίζω πως είναι οι εξής: 1η: 1,99 δουκαμηλόνια, διότι δεν υπάρχει διαίρεση του δουκαμηλόνιου μικρότερη από 1 λεπτό. Και η 2η: το 1 και το ακολουθούν ένα δισεκατομμύριο εννιάρια».
«Ακολουθούμενο από ένα δισεκατομμύριο εννιάρια; Εγώ τότε λέω ΔΥΟ δισεκατομμύρια εννιάρια! Μπορείς να βρεις κάτι παραπάνω;» είπε ο Αλ λες και ήμασταν σε δημοπρασία.
«Τότε θα πω ΤΡΙΑ δις ή 1,99999999999999999999… επ’ άπειρον. Ξέρεις πόσο κάνει πραγματικά ο αριθμός: 1,999999999999… με άπειρα εννιάρια;» είπα και περίμενα.
«Ας τον βαπτίσουμε x» συνέχισε ο Αλ. «Τότε:x = 1,9999999999999999999999999999… άρα10x = 19,9999999999999999999999999999999…
Μείον x = 1,9999999999999999999999999999999…
βρίσκουμε: 9x = 18,0000000000000000000000000000000… άρα 9x = 18 και άρα x = 2. Αλλά από τη διατύπωση ο βασιλιάς έχει αποκλείσει το 2».
«Ουφ ανάσανα», είπα και αναστέναξα. «Άρα δεν έχασε ακόμη το βασίλειό του».
«Νομίζεις ότι δεν υπάρχει; Επειδή δε μπορούμε να βρούμε άλλη αξία, πάει να πει ότι δεν υπάρχει;» απάντησε με αυστηρό ύφος ο Αλ.
«Καλά μη θυμώνεις. Μπορεί και να υπάρχει κι εμείς να είμαστε ανίκανοι να τη βρούμε. Χρειάζεται λοιπόν να το αποδείξουμε».
«Πολύ απλό. Μπορείς να το αποδείξεις με την μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Υποθέτεις ότι υπάρχει ο πιο μεγάλος αριθμός ΠΡΙΝ το 2 και εύκολα καταλήγεις σε άτοπο. Κοιμήσου τώρα».
«Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός», άρχισα να μονολογώ.
«Τί παραπάνω λες να ήξερε ο εκκεντρικός βασιλιάς της Δουκαμηλάνδης; Λες να είχε τη φαντασία που απαιτείται ώστε να πει κανείς τί είναι το άπειρο; Άπειρο δεν είναι το μεγαλύτερο ή το μικρότερο μέγεθος που μπορεί κανείς να φανταστεί, αλλά μια ιδιότητα που δεν χωράει στη φαντασία».
«Το άπειρο, Εβαρίστ, έχει απασχολήσει το ανθρώπινο μυαλό για χιλιάδες χρόνια. Αποτελεί πρόκληση για τους θεολόγους και τους επιστήμονες η κατανόηση και η ανάλυσή του στα συστατικά του στοιχεία. Η ανακάλυψη, του σχήματος ή του μέγεθος του (εάν έχει) και τέλος, να αποφασίσουν αν ταιριάζει ή όχι στην κοσμοαντίληψη που θέλουμε να έχουμε για το σύμπαν. Το να αντιληφθούμε το άπειρο είναι εξαιρετικά δύσκολο. Εξίσου δύσκολα όμως θα αποδεχθούμε ότι υπάρχει τέλος στον χώρο και τον χρόνο. Κι αυτό γιατί υπάρχουν σχολές μαθηματικών οι οποίες έχουν εξορίσει εντελώς το άπειρο ως έννοια από τα μαθηματικά. Κοιμήσου τώρα».
Έβαλε να ακούγεται αγαπημένη blues (σε ρυθμό χορού beauouirip) από το Φεστιβάλ Montreux με την Count Basie Big Band. Η αττμόσφαιρα άλλαξε και μεταφερθήκαμε σε χαμηλόφωτα bar με τη βραχνή παραπονιάρικη κορνέτα και το βαθειά ερωτικό μπάσο. Έτσι, ήρθαμε πιο κοντά στη γαλήνη του ύπνου.
Από τον Χρηστο Τσαντη
Σάκης Ροδίτης,
«Ο ΠΥΡΓΟΣ ΤΟΥ Β – ΜΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΈΤΕΙΑ»
[1] Ο Ζήνων ο Ελεάτης ήταν Ελεατικός φιλόσοφος της Αρχαίας Ελλάδας. Γιος του Τελευταγόρα και ο αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη. Ο Ζήνων γεννήθηκε γύρω στο 488 π.Χ. στην Ελέα (σημερινή Velia) της Ιταλίας.
[2] Luigi Guido Grandi (Οκτώμβρης 1671 – Ιούλιος 1742) Ιταλός Ιερέας, φιλόσοφος, μαθηματικός και μηχανικός γεννημένος στην Cremona.
[3] Ο Ζαν Πιαζέ (Jean Piaget 9/8/1896-16/9/1980) ήταν Ελβετός φιλόσοφος, ψυχολόγος και βιολόγος, ιδρυτής της γενετικής επιστημολογίας. Έγινε ιδιαίτερα γνωστός για τις μελέτες του σχετικά με τα παιδιά και την θεωρία της γνωστικής ανάπτυξης (Τheory of cognitive development).
