ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROLLE
Έστω ότι η y=f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και ότι έχει παράγωγο στο διάστημα (a,b). Αν f(a)=f(b), τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε
f′(ξ)=0.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (LAGRANGE)
Έστω ότι η y=f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και ότι έχει παράγωγο στο διάστημα (a,b). Τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε
(f(b)−f(a))/(b−a)=f′(ξ).
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (CAUCHY)
Έστω ότι οι y=f(x) και y=g(x) είναι συνεχείς στο διάστημα [a,b] και παραγωγίσιμες στο (a,b) έτσι ώστε g(a)≠g(b) και ώστε σε κανένα x του (a,b) να μην ισχύει f′(x)=g′(x)=0.
Τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε
(f(b)−f(a))/(g(b)−g(a))=f′(ξ)/g′(ξ).
Το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy) αποδεικνύεται βάσει του Θεωρήματος του Rolle, αλλά και το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange) είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Cauchy).
Πράγματι, αν θεωρήσουμε την y = g(x) = x στο Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy), τότε προκύπτει το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange).
Τα τρία αυτά θεωρήματα είναι ισοδύναμα.
