Ένα καλό θέμα στα Μαθηματικά Θετικού προσανατολισμού της Γ΄Λυκείου!

5786c-25ce25b125ce25bd25ce25b125ce25bb25cf258525cf258325ce25b7

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 2^{-x}-x^3, x<0\\ \\ \displaystyle{\lim_{t \to + \infty}\left ( ln(t^4+1)-ln(t^4+t^2+2)+1 )\right, x=0, t \in R}\\ \\ e^x+ln(x+1),x>0 \end{matrix}\right.}$

1) Να εξεταστεί ως προς τη συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στο x_0=0

2) Να εξεταστεί ως προς την μονοτονία

3) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ln\frac{x^2+5x+9}{2x^2+10x+15}=\displaystyle{e^{2x^2+10x+14}-e^{x^2+5x+8}}}$

4) Δίνονται επιπλέον οι πραγματικοί αριθμοί a,b ώστε: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} |a|^3-|b|^3<2^{|b|}-2^{|a|}\\ \\ |a|+|b-3|+|b+3|=12\\ \\ \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\frac{|a|^{x+2019}+28|a|^x}{|a|^{x+2017}+7|a|^x}=4} \end{matrix}\right.}$