33η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016 – ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις οι οποίες είναι “ένα προς ένα” και τέτοιες, ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό και κάθε θετικό ακέραιο , να ισχύει

Πρόβλημα 2
Έστω ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με . Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο σημείο και οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Θεωρούμε τις προβολές και του σημείου στις πλευρές και αντίστοιχα και τα μέσα , και των , και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι το δεύτερο κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και ανήκει στο τμήμα .

Πρόβλημα 3
Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα με ακεραίους συντελεστές που ικανοποιούν την ακόλουθη ιδιότητα: Υπάρχει ένας θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε ο να διαιρεί τον για κάθε πρώτο , για τον οποίο ο αριθμός είναι θετικός ακέραιος.
Σημείωση: Ένα μονικό πολυώνυμο έχει συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του ίσο με .

Πρόβλημα 4
Το επίπεδο χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα από δύο σύνολα παράλληλων ευθειών, σχηματίζοντας ένα άπειρο πλέγμα. Κάθε μοναδιαίο τετράγωνο χρωματίζεται με ένα από τα χρώματα έτσι, ώστε να μην υπάρχει ορθογώνιο με περίμετρο το οποίο να περιέχει δύο τετράγωνα του ιδίου χρώματος. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ορθογώνιο με διαστάσεις ή που να περιέχει δύο τετράγωνα του ιδίου χρώματος.

Σχόλια:
Το 1ο πρόβλημα προτάθηκε από τα Σκόπια.
Το 2ο πρόβλημα ήταν Ελληνική πρόταση (Σιλουανός Μπραζιτίκος).
Το 3ο πρόβλημα ήταν Ελληνική πρόταση (Σιλουανός Μπραζιτίκος – Παναγιώτης Λώλας).
Το 4ο πρόβλημα ήταν της Βουλγαρίας.

Πηγή

Posted in Χωρίς κατηγορία

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Recent Posts
May 2016
M T W T F S S
« Apr   Jun »
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031  
Pages
Blog Stats
  • 252,660 hits

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Join 2,934 other followers

Follow ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ on WordPress.com
in search of Physics

ένα project για τη διδασκαλία της Φυσικής στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Joy of mathematics

Live Your Maths

Ο άγνωστος χ

Live Your Maths

%d bloggers like this: