Γκέοργκ Κάντορ: Ο μαθηματικός που κατάφερε να μετρήσει το άπειρο και… κατέληξε σε ψυχιατρείο

Γκέοργκ Κάντορ: Ο μαθηματικός που κατάφερε να μετρήσει το άπειρο και... κατέληξεΔιαγράφοντας μια πορεία συνυφασμένη με την ανθρώπινη εξέλιξη, τα μαθηματικά πάντα ήταν σε θέση να προσφέρουν τροφή για σκέψη ακόμα και σε όσους δεν είχαν άμεση επαφή μαζί τους. Κάθε αυστηρά ορισμένη μαθηματική έννοια που φαίνεται απρόσιτη ανάμεσα στους περίεργους συμβολισμούς, γίνεται αμέσως πιο ενδιαφέρουσα όταν εμπλακεί η φιλοσοφία για να της δώσει μια πιο… γλυκιά όψη. Αυτός είναι και ο μοναδικός τρόπος ώστε η μαθηματική λογική να γίνει αντιληπτή χωρίς να απαιτούνται μαθηματικές γνώσεις.

Φιλοσοφία και μαθηματικά δημιούργησαν από πολύ νωρίς σχέσεις αλληλεξάρτησης. Ο βασικός παράγοντας για να αρχίσει αυτή η… σύμπλευση των επιστημών βρισκόταν κρυμμένος πίσω από την πιο μυστηριώδη έννοια των μαθηματικών, το άπειρο. Τόσο οι μαθηματικοί όσο και οι φιλόσοφοι δυσκολεύονταν να κατανοήσουν την αφηρημένη έννοια του απείρου. Το… πλαγιαστό οχτάρι εμφανιζόταν σαν θεϊκό σύμβολο στα τετράδια των επιστημόνων, εκφράζοντας την έννοια του αμέτρητου, του άπιαστου, ίσως και του ανεξήγητου.

Ο Ρώσος μαθηματικός, η Θεωρία Συνόλων και οι πρωτοποριακές ιδέες του

Παρόλο που η έννοια του υπήρχε από αρχαιότατα χρόνια, η συντριπτική πλειοψηφία των μαθηματικών επέλεγε να μην ασχοληθεί αναλυτικά με την εξήγηση του απείρου. Λιγό μετά τα μέσα του 19ου αιώνα, ένας παράτολμος Ρώσος αποφάσισε να εστιάσει τις έρευνες του γύρω από την σημασία του απείρου, προσπαθώντας να του δώσει έναν πιο δομημένο ορισμό. Κάποια χρόνια μετά, οι προσπάθειες του Γκέοργκ Κάντορ στέφθηκαν από απόλυτη επιτυχία. Το άπειρο δεν αποτελούσε πλέον τον «δαίμονα» των μαθηματικών, είχε όμως καταφέρει να εισβάλει τόσο βαθειά στην σκέψη του, ώστε ο Ρώσος μαθηματικός να χάσει… την λογική του.

Στην προσπάθεια του να διασαφηνίσει την έννοια του απείρου, ο Κάντορ δημιούργησε έναν ολοκαίνουργιο κλάδο των μαθηματικών, την Θεωρία Συνόλων. Η έννοια του συνόλου υπήρχε από παλαιότερα στα μαθηματικά, όμως το περιεχόμενο ενός συνόλου δεν θα μπορούσε παρά να είναι πεπερασμένο σε πλήθος. Ο Ρώσος μαθηματικός δημιούργησε σύνολα που περιείχαν άπειρα στοιχεία και εργάστηκε πολλά χρόνια ώστε να ολοκληρώσει την θεωρία του.

Η μεγάλη ανακάλυψη του Κάντορ – Οι δύο όψεις του… απείρου

Σε ένα από τα τελευταία κομμάτια της εργασίας του ο Κάντορ επιχείρησε να διαμελίσει την έννοια του απείρου, μετρώντας τα στοιχεία του. Χρησιμοποιώντας την θεωρία συνόλων, κατέληξε πως υπάρχουν διαφορετικές όψεις της ίδιας έννοιας. Αν για παράδειγμα πάρουμε στη σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς (1,2,3,4,…) τότε προφανώς θα φτάσουμε ως το άπειρο. Αν προσπαθήσουμε να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας, πάλι θα φτάσουμε στο άπειρο, όμως με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο.

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών υπάρχει μια συγκεκριμένη και σαφής πορεία προς το άπειρο. Κάθε αριθμός απέχει απόσταση ίση με «1» από τον προηγούμενο του, ενώ μπορεί να αντιστοιχίσουμε κάθε στοιχείο του συνόλου με έναν πεπερασμένο αριθμό. Από την άλλη, δεν υπάρχει καμία τεχνική για να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας. Μάλιστα, αποδεικνύεται πως ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υπάρχει και άλλο στοιχείο. Η έννοια του απείρου είναι πολύ πιο ισχυρή πάνω στην ευθεία, ή αντίστοιχα πάνω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Η «πάλη» του Κάντορ με το άπειρο – Ο πρώτος σαφής χαρακτηρισμός του

Υπάρχουν αμέτρητοι τρόποι να φτάσει κανείς στο άπειρο. Αυτό που διαφέρει σε κάθε περίπτωση είναι, κατά κάποιο τρόπο, η «ταχύτητα» με την οποία μπορεί να το προσεγγίσει. Ο Κάντορ απέδειξε πως υπάρχουν άπειρα σύνολα τα οποία είναι απείρως μεγαλύτερα από… μικρότερα άπειρα σύνολα. Διαίρεσε την έννοια του απείρου σε δύο ξεχωριστές υποκατηγορίες. Αν ένα σύνολο περιέχει άπειρα στοιχεία μπορεί να είναι είτε αριθμήσιμο είτε υπεραριθμήσιμο.

Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δύο υποκατηγοριών είναι πολύ αυστηρά ορισμένη. Αν τα στοιχεία ενός συνόλου μπορούν να «μετρηθούν» μέσω κάποιας αντιστοιχίας τότε το σύνολο είναι αριθμήσιμο. Για παράδειγμα, η πορεία των φυσικών αριθμών προς το άπειρο αντιστοιχεί στον ίδιο τους τον εαυτό. Κάθε στοιχείο αποτελεί και έναν φυσικό αριθμό, έχει δηλαδή μια συγκεκριμένη «ταυτότητα» που το ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα. Αντιθέτως, στην περίπτωση της ευθείας δεν υπάρχει κατάλληλη αντιστοιχία που να καλύπτει όλο το σύνολο. Αφού λοιπόν το σύνολο δεν μπορεί να μετρηθεί, τότε χαρακτηρίζεται ως υπεραριθμήσιμο.

Οι επιρροές του μαθηματικού από την φιλοσοφία – Η κατάληξη του παράτολμου επιστήμονα

Ο Κάντορ κατάφερε να κινηθεί πρώτος σε μαθηματικά… μονοπάτια που δεν είχαν ανακαλυφθεί. Χρησιμοποίησε έννοιες που θεωρούνταν «απαγορευμένες» στην τότε μαθηματική κοινότητα, προκαλώντας μάλιστα αρκετές αντιδράσεις. Τα ερεθίσματα που τον οδήγησαν στις απίθανες ανακαλύψεις του, προέρχονταν από τον χώρο της φιλοσοφίας. Η έννοια του απείρου, όταν αναφερόταν στα λόγια κάποιου φιλόσοφου, ακουγόταν πολύ πιο φιλική στα αυτιά του Ρώσου μαθηματικού.

Τα θεωρητικά λόγια που άκουγε και διάβαζε σε βιβλία γύρω από την έννοια του απείρου, του έδωσαν το έναυσμα για την αρχή των ερευνών του. Ωστόσο η αφοσίωση του πάνω σε ένα τόσο λεπτό ζήτημα τον οδήγησε, ευτυχώς μετά από τις ανακαλύψεις του, στο ψυχιατρείο. Ο Ρώσος μαθηματικός άρχισε να χάνει την λογική του, έπεσε σε πολύ βαθειά κατάθλιψη και έχασε κάθε επαφή με τον έξω κόσμο όταν εισήχθη σε νοσοκομείο, όπου πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του.

Η περίπτωση του πασίγνωστου Ρώσου μαθηματικού έρχεται να αποδείξει για άλλη μια φορά πως τα μαθηματικά δεν είναι… απολύτως ασφαλής ενασχόληση. Ο μυστηριώδης κόσμος των μαθηματικών μπορεί να μετατραπεί σε παγίδα για όποιον επιλέξει να εισχωρήσει βαθειά μέσα του. Αυτό που μένει να δούμε, είναι πότε θα βρεθεί ο επόμενος… τολμηρός που θα προσπαθήσει να δώσει στο άπειρο έναν επιπλέον χαρακτηρισμό.

Πηγή

 

Posted in Χωρίς κατηγορία

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Recent Posts
July 2016
M T W T F S S
« Jun   Aug »
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031
Blog Stats
  • 200,922 hits

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Join 2,893 other followers

Follow ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ on WordPress.com
in search of Physics

ένα project για τη διδασκαλία της Φυσικής στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Joy of mathematics

Live Your Maths

Ο άγνωστος χ

Live Your Maths

%d bloggers like this: