Επαναληπτικό θέμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Γ΄Λυκείου!

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύουν:

\bullet f(x)\neq x, για κάθε x\in \mathbb{R}.

\bullet f(0)=1.

\bullet \displaystyle f'(x)=\frac{f(x)}{f(x)-x}, για κάθε x\in \mathbb{R}.

Α. Να δείξετε ότι f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1},x\in \mathbb{R}.

Β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση g(x)=lnf(x) ως προς τη μονοτονία, τη κυρτότητα και το σύνολο τιμών της.

Γ. Να υπολογίσετε το \displaystyle \int_{0}^{2}\frac{dx}{f(x)-x}.

Δ. Να δείξετε ότι \displaystyle \sqrt{\left ( \alpha +\sqrt{\alpha ^{2}+1} \right )\left ( \beta +\sqrt{\beta ^{2}+1} \right )}\leq \frac{\alpha +\beta }{2}+\sqrt{\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )^{2}+1}, για κάθε \alpha ,\beta >0.

Πηγή: mathematica

 

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s