Επαναληπτικό Θέμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ΄Λυκείου!

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: \Re \mapsto \Re , με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύουν:

  • f(0)=1 και f'(0)=0
  • -f'(x)-f''(x)= e^{-x}, για κάθε x \epsilon \Re

α) Να βρείτε τον τύπο της f καθώς επίσης και το σύνολο τιμών της.

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει: (f(x))^{2015}+ (f(x))^{2016}+(f(x))^{2017} \leq 3

γ) Να υπολογίσετε το όριο: \lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{f(x)}{cosx+2}

δ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Εν συνεχεία, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας AB όπου A(1,f(1)) και B(2,f(2)) και να αποδείξτε ότι για x \epsilon (1,2) η γραφική παράσταση της C_{f} της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία AB .

ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C_{f} και την AB .

στ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 2x- \frac{1}{2}=x \int_0^1 \frac{2}{ (f(x))^{4}+2}dx έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1) .

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s