Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ’ Λυκείου Θέμα!

Για την συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} ισχύει: \displaystyle{f\left( x \right)\cdot {f}''\left( x \right)>{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}
και είναι \displaystyle{f\left( 0 \right)=2} και \displaystyle{{f}'\left( 0 \right)=1}.

Δ1. Να δείξετε ότι  \displaystyle{f\left( x \right)>0}  για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}} και η \displaystyle{f} είναι κυρτή στο \displaystyle{\mathbb{R}}.

Δ2. Να δείξετε ότι  \displaystyle{f\left( x \right)\ge x+2}  για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.

Δ3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση  \displaystyle{g\left( x \right)=\ln \left( f\left( x \right) \right)} , \displaystyle{x\in \mathbb{R}}  είναι κυρτή και  \displaystyle{f\left( x \right)\ge 2{{e}^{{}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}} , για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.

Δ4. Να βρεθούν οι \displaystyle{\alpha ,\beta \in \mathbb{R}}, ώστε  \displaystyle{f\left( \alpha  \right)\cdot f\left( 2-\beta  \right)=4\cdot {{e}^{1+\frac{\alpha -\beta }{2}}}}.

Δ5. Αν \displaystyle{x,y,z\in \mathbb{R}} και  \displaystyle{x+y+z=0}  να δείξετε ότι \displaystyle{f\left( x \right)\cdot f\left( y \right)\cdot f\left( z \right)\ge 8}.

Δ6. Να δείξετε ότι: \displaystyle{\int_{\sqrt{2m}}^{\sqrt{2n}}{f\left( {{x}^{2}} \right)f\left( 2\ln x \right)}dx>4\left( {{e}^{n}}-{{e}^{m}} \right)},  για κάθε \displaystyle{m,n>0} με \displaystyle{m<n}.

 

 

Εκδόσεις Κανδύλας με την υπογραφή του Νίκου Ζανταρίδη.

 

 

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s