Ένα θέμα στα Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής (Γενικής Παιδείας) Γ΄Λυκείου

Θεωρούμε την πραγματική σταθερά \lambda και τη συνάρτηση  \displaystyle f(x)=e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x},  για την οποία ισχύει \displaystyle f''(x)=2f(x)+f'(x), για κάθε x\in \mathbb{R}.

A. Να δείξετε ότι \lambda =1 και να εξετάσετε αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.

Β. Να υπολογίσετε το \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{2x}}{xe^{2x}}.

Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M(\alpha ,f(\alpha )), με \alpha >-1, και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση \displaystyle E(\alpha )=\frac{f(\alpha )\left ( \alpha +1 \right )^{2}}{2}. Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ \alpha, ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.

Δ. Να δείξετε ότι για κάθε x_{i}>-1, με i=1,2,...,\nu, ισχύει η σχέση \displaystyle \nu -x_{1}-x_{2}-...-x_{\nu }\leq \sum_{i=1}^{\nu }f\left ( x_{i} \right )\leq \frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+...+\frac{1}{x_{\nu }+1}

Πηγή: mathematica

 

Posted in Χωρίς κατηγορία

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Recent Posts
July 2016
M T W T F S S
« Jun   Aug »
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031
Pages
Blog Stats
  • 237,486 hits

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Join 2,924 other followers

Follow ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ on WordPress.com
in search of Physics

ένα project για τη διδασκαλία της Φυσικής στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Joy of mathematics

Live Your Maths

Ο άγνωστος χ

Live Your Maths

%d bloggers like this: