Γιγαντιαίοι πρώτοι αριθμοί και μια εντυπωσιακή εφαρμογή των λογαρίθμων!

Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που είχε βρεθεί μέχρι την 7 Ιανουαρίου 2016 είναι  ο 257885161-1, ένας ασύλληπτα μεγάλος αριθμός καθώς εκτιμάται ότι  αν κάθε αριθμητικό ψηφίο αντιστοιχεί σε ένα εκατοστό,ο αριθμός θα γραφόταν σε μια ταινία χαρτιού μήκους 160 χλμ. Στις 7 Ιανουαρίου 2016 το ρεκόρ ανανεωθηκε καθώς ανακαλύφτηκε ο   274207281-1 . Πόσα ψηφία έχουν τέτοια αριθμητικά τέρατα; Οι λογάριθμοι μας επιτρέπουν με  ένα κοινό κομπιουτεράκι  να βρούμε το ακριβές πλήθος των ψηφίων των δυο αριθμών.

  Σκεφτείτε τον αριθμό 10  είναι διψήφιος ο αριθμός,ο 102 είναι τριψήφιος, ο 103είναι τετραψήφιος  κ.ο.κ. Γενικά παρατηρούμε ότι ο αριθμός  10ν-1 είναι ν-ψηφιος αριθμός. Επειδή ο αριθμός  10ν αποτελείται από μια μονάδα και  ν μηδενικά είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος με ν+1 ψηφία. Είναι προφανές λοιπόν ότι κάθε ακέραιος στο διάστημα      [10ν-1 , 10ν ) έχει ν ψηφία. Όμως

log  10ν-1 =ν-1 ,  log  10ν

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

  ▪ Κάθε ν-ψήφιος αριθμός έχει λογάριθμο στο διάστημα [ν-1 , ν)  .

Ή ισοδύναμα

  ▪ Αν Μ θετικός  ακέραιος με ν ψηφία τότε    ν-1<=logΜ<ν

Τα παραπάνω συμπεράσματα  είναι εξαιρετικά χρήσιμα για να προσδιορίσουμε το πλήθος των ψηφίων ενός πολύ μεγάλου αριθμού.

 

Για παράδειγμα, ο αριθμός 52013.Πόσα ψηφία έχει;

Υπολογίζουμε το λογάριθμο

log  52013 =2013 log  5  = 701,5133

(log5 είναι περίπου 0,34948 )

Στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός 52013 έχει 702 ψηφία.

Επανερχόμαστε λοιπόν στο αρχικό ερώτημα. Το πλήθος των ψηφίων του257885161-1    είναι ακριβώς το ίδιο με το πλήθος των ψηφίων του 257885161 διότι κάθε δύναμη του 2 έχει τελευταίο ψηφίο 2,4,6 και 8  και όχι 0.

log257885161  =57885161 log2=17425169,7648   στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός257885161-1  έχει 17425170  ψηφία!!!

Ενημερωση(7/1/2016)
O   274207281-1 βρέθηκε στις 7 Ιανουαρίου 2016.

Το πλήθος των ψηφίων του   274,207,281-1 είναι ακριβώς το ίδιο με το πλήθος των ψηφίων του   274,207,281 διότι κάθε δύναμη του 2 έχει τελευταίο ψηφίο 2,4,6 και 8  και όχι 0.
log 274,207,281  =74207281 log2=22338617.4776658344871172  στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός 274,207,281-1  έχει  22338618 ψηφία !!!

Πηγή

 

Posted in Χωρίς κατηγορία

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Recent Posts
Pages
Blog Stats
  • 292,390 hits

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Join 2,969 other followers

Follow ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ on WordPress.com
in search of Physics

ένα project για τη διδασκαλία της Φυσικής στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Joy of mathematics

Live Your Maths

Ο άγνωστος χ

Live Your Maths

%d bloggers like this: