Τρία ισοδύναμα θεωρήματα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROLLE
Έστω ότι η y=f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και ότι έχει παράγωγο στο διάστημα (a,b). Αν f(a)=f(b), τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε
f(ξ)=0.
Αποτέλεσμα εικόνας για THEOREM ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (LAGRANGE)

Έστω ότι η y=f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και ότι έχει παράγωγο στο διάστημα (a,b). Τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε
(f(b)f(a))/(ba)=f(ξ).

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (CAUCHY)
Έστω ότι οι y=f(x) και y=g(x) είναι συνεχείς στο διάστημα [a,b] και παραγωγίσιμες στο (a,b) έτσι ώστε g(a)g(b) και ώστε σε κανένα x του (a,b) να μην ισχύει f(x)=g(x)=0.
Τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε
(f(b)f(a))/(g(b)g(a))=f(ξ)/g(ξ).
Το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy) αποδεικνύεται βάσει του Θεωρήματος του Rolle, αλλά και το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange) είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Cauchy).
Πράγματι, αν θεωρήσουμε την y = g(x) = x στο Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy), τότε προκύπτει το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange).
Τα τρία αυτά θεωρήματα είναι ισοδύναμα.

Πηγή

 

Posted in Χωρίς κατηγορία

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Recent Posts
December 2016
M T W T F S S
« Nov   Jan »
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031  
Pages
Blog Stats
  • 238,575 hits

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Join 2,927 other followers

Follow ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ on WordPress.com
in search of Physics

ένα project για τη διδασκαλία της Φυσικής στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Joy of mathematics

Live Your Maths

Ο άγνωστος χ

Live Your Maths

%d bloggers like this: