Τρία ισοδύναμα θεωρήματα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROLLE
Έστω ότι η y=f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και ότι έχει παράγωγο στο διάστημα (a,b). Αν f(a)=f(b), τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε
f(ξ)=0.
Αποτέλεσμα εικόνας για THEOREM ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (LAGRANGE)

Έστω ότι η y=f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και ότι έχει παράγωγο στο διάστημα (a,b). Τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε
(f(b)f(a))/(ba)=f(ξ).

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (CAUCHY)
Έστω ότι οι y=f(x) και y=g(x) είναι συνεχείς στο διάστημα [a,b] και παραγωγίσιμες στο (a,b) έτσι ώστε g(a)g(b) και ώστε σε κανένα x του (a,b) να μην ισχύει f(x)=g(x)=0.
Τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε
(f(b)f(a))/(g(b)g(a))=f(ξ)/g(ξ).
Το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy) αποδεικνύεται βάσει του Θεωρήματος του Rolle, αλλά και το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange) είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Cauchy).
Πράγματι, αν θεωρήσουμε την y = g(x) = x στο Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy), τότε προκύπτει το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange).
Τα τρία αυτά θεωρήματα είναι ισοδύναμα.

Πηγή

 

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s