Αριθμός “π” – Η παγκόσμια σταθερά του Αρχιμήδη

Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία.

Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ. Στην Ευκλείδια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π αναλυτικά χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι. Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδιδεγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.

Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Μολονότι η ακρίβεια αυτή είναι παραπάνω από επαρκής για πρακτικούς σκοπούς στη μηχανολογία και την επιστήμη, η ακριβής τιμή του π περιλαμβάνει άπειρα δεκαδικά ψηφία (που επιπλέον δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με την ίδια σειρά). Κατά τους λίγους τελευταίους αιώνες, έχουν καταβληθεί μεγάλες προσπάθειες για τον υπολογισμό όλο και περισσότερων ψηφίων του π και τη διερεύνηση των ιδιοτήτων του αριθμού αυτού. Παρά τον όγκο της αναλυτικής εργασίας, σε συνδυασμό με τη χρήση υπερυπολογιστών σε υπολογισμούς που έχουν προσδιορίσει πάνω από 1 τρισεκατομμύριο ψηφία του π, δεν βρέθηκε ποτέ κάποια αναγνωρίσιμη διάταξη στα ψηφία του. Ψηφία του π είναι διαθέσιμα από μια πληθώρα πηγών στο Διαδίκτυο, και ένας κοινός προσωπικός υπολογιστής μπορεί να υπολογίσει δισεκατομμύρια ψηφία του π μέσω διαθέσιμου λογισμικού.



Το π είναι ένας άρρητος αριθμός· αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθμών, πράγμα που αποδείχθηκε το 1761 από τον Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ (Johann Heinrich Lambert). Το π είναι επίσης υπερβατικός αριθμός, όπως αποδείχθηκε από τον Φέρντιναντ φον Λίντεμανν (Ferdinand von Lindemann) το 1882. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές του οποίου να αποτελεί ρίζα το π. Μια σημαντική συνέπεια της υπερβατικότητας του π είναι το γεγονός ότι δεν είναι κατασκευάσιμο. Επειδή οι συντεταγμένες όλων των σημείων που μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη είναι κατασκευάσιμοι αριθμοί, είναι αδύνατον να τετραγωνίσουμε τον κύκλο, με άλλα λόγια, είναι αδύνατον να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο προς το εμβαδόν δοσμένου κύκλου.

Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παρακάτω φράση

ΑΕΙ Ο ΘΕΟΣ Ο ΜΕΓΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΕΙ ΤΟ ΚΥΚΛΟΥ ΜΗΚΟΣ ΙΝΑ ΟΡΙΣΗ ΔΙΑΜΕΤΡΩ ΠΑΡΗΓΑΓΕΝ ΑΡΙΘΜΟΝ ΑΠΕΡΑΝΤΟΝ ΚΑΙ ΟΝ ΦΕΥ ΟΥΔΕΠΟΤΕ ΟΛΟΝ ΘΝΗΤΟΙ ΘΑ ΕΥΡΩΣΙ

Η παραπάνω φράση είναι και ένας μνημωνικός τρόπος για τον προσδιορισμό των 23 πρώτων ψηφίων του π. Ο αριθμός των γραμμάτων κάθε λέξης αποτελεί και ένα ψηφίο του π.

Δηλαδή ΑΕΙ = 3, Ο =1, ΘΕΟΣ = 4, Ο = 1, ΜΕΓΑΣ = 5, ΓΕΩΜΕΤΡΕΙ = 9, ΤΟ = 2, ΚΥΚΛΟΥ = 6, ΜΗΚΟΣ = 5, ΙΝΑ = 3, ΟΡΙΣΗ = 5, ΔΙΑΜΕΤΡΩ = 8, ΠΑΡΗΓΑΓΕΝ = 9, ΑΡΙΘΜΟΝ = 7, ΑΠΕΡΑΝΤΟΝ = 9, ΚΑΙ = 3, ΟΝ = 2, ΦΕΥ = 3, ΟΥΔΕΠΟΤΕ = 8, ΟΛΟΝ = 4, ΘΝΗΤΟΙ = 6, ΘΑ = 2, ΕΥΡΩΣΙ = 6.

Δηλαδή από την συγκεκριμένη φράση έχουμε τα 23 πρώτα ψηφία του αριθμού:
π=3,1415926535897932384626… .

Κατά σύμπτωση, η ημέρα εορτασμού του αριθμού π συμπίπτει με τα γενέθλια του Άλμπερτ Άινσταϊν, γεγονός που δίνει τη δυνατότητα στους λάτρεις των μαθηματικών την ευκαιρία να συζητήσουν για διάσημες ανακαλύψεις που έχουν αποδειχτεί με τη χρήση των μαθηματικών.

«Η ημέρα εορτασμού του π αντιπροσωπεύει την πρόοδο που έχει συντελεστεί στην παγκόσμια γλώσσα των μαθηματικών», ανέφερε η Σούζαν Τζαρέμα, ιδρύτριας της Googol Learning, ιστοσελίδας που προσπαθεί να φέρει τα μαθηματικά πιο κοντά στα μικρά παιδιά. Εκτός από τη 14η Μαρτίου, που προκύπτει από τον αμερικανικό τρόπο γραφής της ημερομηνίας, 3/14, εξίσου διάσημη ημέρα εορτασμού του στην Ευρώπη είναι η 22α Ιουλίου, 22/7, αφού διαιρώντας το 22 με το 7 προκύπτει ο αριθμός π.

Ο υπολογισμός του π απασχόλησε τον άνθρωπο εδώ και 4.000 χρόνια, όταν αρχικά χρησιμοποιήθηκε από τους Βαβυλώνιους και τους Αιγύπτιους, ενώ τον 3ο και 4ο αιώνα π.Χ. αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί και φιλόσοφοι διατύπωσαν τα δικά τους θεωρήματα για τον αριθμό. Όπως έχει σήμερα διαπιστωθεί, ο αριθμός ο δεκαδικός αυτός αριθμός δεν τελειώνει ποτέ. Πανίσχυροι υπολογιστές επιχείρησαν να τον υπολογίσουν με ακρίβεια χωρίς όμως να τα καταφέρουν. Στην πιο πρόσφατη προσπάθεια καταγράφηκαν 1.241.100.000.000 δεκαδικά του στοιχεία.

Η μέθοδος ισορροπίας του Αρχιμήδη

Είναι εκπληκτικό πόσες από τις σημαντικές εξελίξεις των μαθηματικών της σύγχρονης εποχής έχουν την προέλευση τους σε εργασίες που έγιναν δυο χιλιετηρίδες πριν, από τους αρχαίους Έλληνες· όπως άρεσε στον Τζούλιαν Λόουελ Κούλιτζ (Julian Lowell Coolidge), τον διάσημο γεωμέτρη του Χάρβαρντ που έζησε στις αρχές του αιώνα μας, να λέει: «Τότε στη γη κατοικούσαν γίγαντες». Δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία πως ο μεγαλύτερος από όλους αυτούς τους γίγαντες ήταν ο περίφημος Αρχιμήδης από τις Συρακούσες, ένας άνθρωπος με απίστευτο μαθηματικό ταλέντο. Σ’ αυτή τη διάλεξη θα δούμε ότι ο Αρχιμήδης βρίσκοντας, με τα περιορισμένα μέσα που είχε στη διάθεση του, τα εμβαδά ορισμένων καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων και τα εμβαδά και τους όγκους ορισμένων καμπύλων επιφανειών έβαλε τα θεμέλια του ολοκληρωτικού λογισμού, που πολλά πολλά χρόνια αργότερα έμελλε να προχωρήσει προς την τελειοποίηση του με τους Κέπλερ (Kepler), Καβαλιέρι (Cavalieri), Φερμά (Fermat), Ουόλλις (Wallis), Μπάρροου (Barrow), Λάιμπνιτς (Leibnitz) και Νεύτωνα.

Πολλές από τις ανακαλύψεις του ο Αρχιμήδης τις έκανε πάνω σε σχήματα που σχεδίαζε στις στάχτες της θράκας ή στο στρώμα του λαδιού που έβαζε στο σώμα του όταν τελείωνε το λουτρό του. Ρωμαίοι ιστορικοί αναφέρουν ότι το τέλος του ήρθε μια μέρα όταν, απορροφημένος με ένα γεωμετρικό σχήμα που είχε σχεδιάσει σ’ ένα δίσκο με άμμο και καθώς οι φρουροί απρόσεχτα είχαν χαλαρώσει την επιτήρηση τους, ο Μάρκελλος και οι άνδρες του έσπασαν τον κλοιό της πολιορκημένης πόλης. Σύμφωνα με μια εκδοχή, όταν ο ίσκιος ενός ρωμαίου στρατιώτη έπεσε πάνω στο σχήμα, ο Αρχιμήδης ένευσε στον ανεπιθύμητο επισκέπτη πίσω του να μην καταστρέψει το σχήμα, οπότε εκείνος εξαγριωμένος κάρφωσε το σπαθί του στο σώμα του γέρου άντρα.

Δέκα πραγματείες του Αρχιμήδη έχουν φτάσει ως εμάς και υπάρχουν ίχνη μερικών ακόμα χαμένων εργασιών. Οι πραγματείες που σώζονται, όλες αριστουργήματα μαθηματικής έκθεσης, γραμμένα με τελειότητα και μεγάλη οικονομία στην παρουσίαση, έχουν μεγάλη πρωτοτυπία, υπολογιστική επιδεξιότητα και αυστηρότητα στις αποδείξεις. Η πιο αξιοσημείωτη ίσως προσφορά αυτών των εργασιών στα μαθηματικά είναι η πρώτη ανάπτυξη των διαδικασιών το ολοκληρωτικού λογισμού. Ας στρέψουμε λοιπόν τώρα την προσοχή μας σ’ αυτό το μεγάλο επίτευγμα.

Αρκετές από τις εργασίες του Αρχιμήδη χρησιμοποιούν διαδικασίες ισοδύναμες με την εκτέλεση μιας γνήσιας ολοκλήρωσης. Εδώ θα ασχοληθούμε με δύο μόνο από αυτές τις εργασίες — τις πιο αγαπημένες εργασίες του Αρχιμήδη: Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου και μια άλλη που βρέθηκε μόλις πρόσφατα, με τον τίτλο Έφοδος. Στην πρώτη εργασία, γραμμένη σε δύο βιβλία και με 60 συνολικά προτάσεις, εμφανίζονται για πρώτη φορά στα μαθηματικά σωστές εκφράσεις για το εμβαδόν σφαίρας και σφαιρικής ζώνης μιας βάσης και για τον όγκο σφαίρας και σφαιρικού τμήματος μιας βάσης. Οι περιπτώσεις του εμβαδού και του όγκου σφαίρας διατυπώνονται εντυπωσιακά σ’ ένα πόρισμα των Προτάσεων 33 και 34 του Βιβλίου Ι: Ο κύλινδρος με βάση ίση με ένα μέγιστο κύκλο της σφαίρας και ύφος ίσο με μια διάμετρο της σφαίρας έχει συνολική επιφάνεια (παράπλευρη επιφάνεια μαζί με τις δυο βάσεις) ακριβώς ίση με τα 3/2 της επιφάνειας της σφαίρας και όγκο ακριβώς ίσο με τα 3/2 του όγκου της σφαίρας. 

Από αυτή την πρόταση προκύπτουν εύκολα οι γνωστοί τύποι για το εμβαδόν Ε και τον όγκο V σφαίρας ακτίνας r. Οι ιδέες της ολοκλήρωσης βρίσκονται στην αλυσίδα των προτάσεων που, ευφυώς, οδηγούν βήμα βήμα σ’ αυτά τα αποτελέσματα. Εδώ, στη θέση της άμεσης και εύπλαστης μεθόδου των ορίων, βρίσκουμε την έμμεση και δύσχρηστη αλλά εξίσου εξυπηρετική διπλή εις άτοπο απαγωγή, που είναι γνωστή ως μέθοδος της εξάντλησης του Ευδόξου. Αν και σε μια πιο εκτεταμένη σειρά διαλέξεων η μέθοδος της εξάντλησης του Ευδόξου θα είχε μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών, στο βιβλίο αυτό αποφεύγουμε να παρουσιάσουμε τη μέθοδο και συνεπώς μαζί μ’ αυτή να μελετήσουμε την έξυπνη απόδειξη που έδωσε ο Αρχιμήδης για τους παραπάνω τύπους του εμβαδού και του όγκου σφαίρας. Αντί γι’ αυτές θα εξετάσουμε λεπτομερειακά μια εξήγηση που δίνει ο Αρχιμήδης στην εργασία του Έφοδος, στην οποία μας λέει πώς έφτασε στους τύπους αυτούς για πρώτη φορά. Αυτή η επεξήγηση δεν περιέχει μόνο ιδέες ολοκλήρωσης αλλά προσφέρει επίσης μια ενδιαφέρουσα μέθοδο ανακάλυψης.

Η Έφοδος του Αρχιμήδη ήταν χαμένη για πολύ καιρό και γνωστή μόνο από αναφορές σ’ αυτή, μέχρι που στα 1906 ανακαλύφθηκε στην Κωνσταντινούπολη ένα αντίγραφο της, του 10ου αιώνα, από το διακεκριμένο Γερμανό ιστορικό των μαθηματικών Τζ. Λ. Χάιμπεργκ (J.L. Heiberg). Η εργασία που βρέθηκε ήταν ένα παλίμψηστο, δηλαδή χειρόγραφο σε περγαμηνή που μερικούς αιώνες αργότερα ξαναχρησιμοποιήθηκε αφού πρώτα καθαρίστηκε το μελάνι, αλλά με το πέρασμα του χρόνου το πρώτο κείμενο επανεμφανίστηκε κάτω από το πιο πρόσφατο. Η εργασία έχει τη μορφή επιστολής που απευθύνεται στον Ερατοσθένη στο Πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας.

Η μέθοδος της εξάντλησης, αν και αυστηρή, είναι στείρα μέθοδος· δηλαδή, από τη στιγμή που ένας τύπος είναι γνωστός, η μέθοδος της εξάντλησης προσφέρει ένα θαυμάσιο εργαλείο για την απόδειξη του τύπου, αλλά η ίδια η μέθοδος δεν προσφέρεται για την αρχική ανακάλυψη του τύπου. Με ποιόν τρόπο τότε ανακάλυψε ο Αρχιμήδης τους τύπους που βρίσκονται στην πραγματεία του Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, για παράδειγμα, που τόσο καθαρά απέδειξε εκεί με τη μέθοδο της εξάντλησης; Την απάντηση τη δίνει ο ίδιος ο Αρχιμήδης στην Έφοδο. Η βασική ιδέα της μεθόδου του Αρχιμήδη (γνωστή περισσότερο ως μέθοδος της ισορροπίας) είναι η εξής: για να βρούμε ένα ζητούμενο εμβαδόν ή όγκο κόβουμε την επιφάνεια ή το σώμα σ’ ένα πολύ μεγάλο αριθμό λεπτές, παράλληλες και επίπεδες λωρίδες ή λεπτές παράλληλες φέτες και (νοητά) κρεμάμε αυτά τα κομμάτια στο ένα άκρο δεδομένου μοχλού με τέτοιον τρόπο, ώστε αυτά να βρίσκονται σε ισορροπία με ένα σχήμα του οποίου η περιεκτικότητα και το κέντρο βάρους είναι γνωστά. Για να καταλάβουμε καλά αυτή τη μέθοδο ας τη χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε τον όγκο μιας σφαίρας.

Έστω r η ακτίνα της σφαίρας. Τοποθετούμε τη σφαίρα έτσι ώστε η πολική της διάμετρος να βρίσκεται πάνω σ’ έναν οριζόντιο άξονα x και ο βόρειος πόλος της Β στην αρχή του. Κατασκευάζουμε τον κύλινδρο και τον κώνο εκ περιστροφής που προκύπτει αν περιστρέψουμε το ορθογώνιο ΒΚΛΝ που έχει διαστάσεις 2r x r και το τρίγωνο ΒΜΝ (που είναι ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με σκέλη μήκους 2r) γύρω από τον άξονα x. Στη συνέχεια κόβουμε από τα τρία στερεά λεπτές κάθετες φέτες (θεωρούμε ότι είναι επίπεδοι κύλινδροι) σε απόσταση x από το Β και με πάχος Δx. Οι φέτες αυτές έχουν προσεγγιστικά όγκους

σφαίρα: πx(2r – x)Δx,
κύλινδρος: πρ2Δx,
κώνος: πx2 Δx.


Παίρνουμε τώρα αντίστοιχες φέτες από τη σφαίρα και τον κώνο και τις κρεμάμε από τα κέντρα τους στο Τ, όπου ΤΒ = 2r. Οι δύο αυτές φέτες μαζί έχουν ως προς Β ροπή.

Παρατηρούμε ότι η ροπή αυτή είναι τέσσερις φορές η ροπή της φέτας που κόπηκε από τον κύλινδρο όταν αυτή αφεθεί εκεί που βρίσκεται. Προσθέτοντας ένα μεγάλο αριθμό από τέτοιες φέτες βρίσκουμε:

 

2r[όγκος σφαίρας + όγκος κώνου] = 4r[όγκος κυλίνδρου]
ή
ή

 

Αυτός, όπως μας λέει στην Έφοδο, ήταν ο τρόπος με τον οποίο ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τον τύπο που δίνει τον όγκο σφαίρας. Η μαθηματική του συνείδηση όμως δεν του επέτρεπε να δεχτεί μια τέτοια μέθοδο σαν απόδειξη και έτσι έδωσε μια αυστηρή απόδειξη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εξάντλησης.

Στη μέθοδο της ισορροπίας του Αρχιμήδη διαπιστώνουμε τη γονιμότητα της με ασάφεια θεμελιωμένης ιδέας να θεωρούμε ότι ένα μέγεθος συντίθεται από ένα μεγάλο αριθμό μικρών κομματιών. Δε χρειάζεται να πούμε ότι, με τη σύγχρονη θεωρία των ορίων, η μέθοδος της ισορροπίας του Αρχιμήδη μπορεί να γίνει απόλυτα αυστηρή και είναι ουσιαστικά η ίδια με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης που χρησιμοποιούμε σήμερα. Ασφαλώς, από κάθε άποψη, η εργασία αυτή του Αρχιμήδη είναι μια αληθινά μεγάλη στιγμή των μαθηματικών.

Ο Αρχιμήδης αγαπούσε τόσο πολύ την εργασία του Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, ώστε είπε ότι θα ήθελε όταν πεθάνει να χαραχτεί στον τάφο του το σχήμα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο. Ο Μάρκελλος είχε αναπτύξει τέτοιο θαυμασμό και εκτίμηση για τον Αρχιμήδη ως αντίπαλο που κατάφερνε για καιρό να βγαίνει νικητής κατά την πολιορκία των Συρακουσών, ώστε, όταν έμαθε πως πέθανε με την πτώση της πόλης, τον έθαψε με μεγάλη μεγαλοπρέπεια και τελετές και έστησε στον τάφο του μια πέτρινη στήλη πάνω στην οποία ήταν σκαλισμένο το σχήμα που είχε ζητήσει ο Αρχιμήδης. Πολλά χρόνια αργότερα, όταν ο Κικέρωνας επισκέφτηκε τις Συρακούσες σαν ρωμαίος ταμίας’ για να εισπράξει φόρους, κανείς δεν ήξερε να τον οδηγήσει στον τάφο του Αρχιμήδη. Μετά από πολλές έρευνες βρήκε την ταφόπετρα ανάμεσα σε ψηλούς βάτους και ξανάφτιαξε το έδαφος γύρω από τον τάφο. Με το πέρασμα του χρόνου όμως, ο τάφος παραμελήθηκε και όλα έδειχναν ότι με την αύξηση της πόλης ο τάφος θα χανόταν οριστικά. Στα 1965 όμως, σκάβοντας για τη θεμελίωση ενός νέου ξενοδοχείου στις Συρακούσες, ο ατμοκίνητος εκσκαφέας σήκωσε μια ταφόπετρα με το σχήμα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο σκαλισμένο πάνω. Για άλλη μια φορά ο τάφος του μεγαλύτερου Συρακούσιου είχε βρεθεί.

Ο Τσεχοσλοβάκος επιστήμονας Πετρ Μπέκμαν (Petr Beckmann), που σήμερα βρίσκεται στο τμήμα ηλεκτρολόγων μηχανολόγων του Πανεπιστημίου του Κολοράντο, θεωρεί ότι η ιστορία δημιουργείται κυρίως μέσα από μια θανατηφόρα σύγκρουση ανάμεσα σε δυο τάξεις ανθρώπων, των στοχαστών και των κακοποιών. Γι’ αυτές τις δύο τάξεις ο Μπέκμαν έχει διατυπώσει το νόμο που θα μπορούσε να ονομαστεί νόμος του Μπέκμχν: «Στη σύγκρουση μεταξύ στοχαστών και κακοποιών, οι κακοποιοί πάντα κερδίζουν αλλά οι στοχαστές επιζούν πάντα των αντιπάλων τους». Για παράδειγμα, οι Έλληνες και συγκεκριμένα ο Αρχιμήδης ήταν στοχαστές, ενώ οι Ρωμαίοι και συγκεκριμένα ο Μάρκελλος ήταν κακοποιοί. Στη διαμάχη ανάμεσα στον Αρχιμήδη και το Μάρκελλο ο Μάρκελλος κέρδισε, αλλά τα επιτεύγματα του Αρχιμήδη θα επιζούν πέρα από οτιδήποτε έκανε ο Μάρκελλος. Ο σερ Γουίλλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον (Sir William Rowan Hamilton), o μεγαλύτερος Ιρλανδός μαθηματικός, παρατήρησε κάποτε για την κρίσιμη αυτή σύγκρουση: «Ποιος δε θα προτιμούσε τη φήμη του Αρχιμήδη από του κατακτητή του Μάρκελλου;» Ακόμα ο Βρετανός φιλόσοφος Άλφρεντ Νορθ Χουάιτχεντ (Alfred North Whitehead) παρατήρησε σχετικά με το θάνατο του Αρχιμήδη: «Κανένας Ρωμαίος δεν πέθανε ποτέ στοχαζόμενος πάνω από ένα γεωμετρικό σχήμα». Τέλος, ενώ ο νόμος του Μπέκμαν εγγυάται πως η ανθρώπινη μνήμη του Αρχιμήδη ξεπερνάει την ανθρώπινη μνήμη του Μάρκελλου, ο διάσημος Βρετανός αριθμοθεωρίστας Τζ. Χ. Χάρντυ μας βεβαιώνει ότι ανάμεσα και στους ίδιους τους Έλληνες στοχαστές «η μνήμη του Αρχιμήδη θα παραμένει ζωντανή όταν η μνήμη του Αισχύλου θα έχει σβήσει, γιατί οι γλώσσες πεθαίνουν όχι όμως και οι μαθηματικές ιδέες».

Σε μια πιο εκτεταμένη σειρά διαλέξεων πάνω στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών ο Αρχιμήδης θα εμφανιζόταν πάνω από μία φορά, γιατί ήταν αυτός που ξεκίνησε τη μακρόχρονη ιστορία του επιστημονικού υπολογισμού του π και ήταν αυτός που έγραψε τα πρώτα αξιόλογα κείμενα πάνω στη μαθηματική φυσική. Σε μια επόμενη διάλεξη θα επιστρέψουμε στο Βιβλίο II της εργασίας του Αρχιμήδη Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, για να το σχολιάσουμε σχετικά με τη λύση κυβικών εξισώσεων.

  1. «Μη μου τους κύκλους τάραττε» (Σ.τ.μ.).
  2. Από αυτή την άποψη, η μέθοδος της εξάντλησης μοιάζει πολύ / με τη μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής που οι μαθητές διδάσκονται στην άλγεβρα.
  3. Πρέπει όμως να πούμε ότι η μέθοδος του Αρχιμήδη, βελτιωμένη από τη σύγχρονη θεωρία των ορίων, βρίσκεται σε όλα σχεδόν τα σχολικά βιβλία στερεομετρίας.
  4. Επειδή ακτίνα αυτής της φέτας είναι η μέση ανάλογος των, χ και 2γ-χ.
  5. Η ροπή ενός όγκου ως προς ένα σημείο είναι το γινόμενο του όγκου επί την απόσταση του σημείου από το κέντρο βάρους του όγκου.

Σχετική Βιβλιογραφία:
Dijksterhuis E.J., Archimedes. New York: Humanities Press. 1957.
Heath T.L., The Works of Archimedes. New York: Cambridge University Press, 1912,
επανέκδοση από Dover, New York.

Posted in Χωρίς κατηγορία

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Recent Posts
December 2016
M T W T F S S
« Nov   Jan »
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031  
Pages
Blog Stats
  • 281,201 hits

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Join 2,967 other followers

Follow ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ on WordPress.com
in search of Physics

ένα project για τη διδασκαλία της Φυσικής στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Joy of mathematics

Live Your Maths

Ο άγνωστος χ

Live Your Maths

%d bloggers like this: