Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Γ΄Λυκείου, ένα ωραίο θέμα!

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}^{\ast }$ , για την οποία ισχύουν:

$\displaystyle \bullet \hspace{3mm}f^{2}(0)+f^{2}(1)+4+2\sqrt{2}\leq 2\left ( f(0)+\left ( 1+\sqrt{2} \right )f(1) \right )$

$\displaystyle \bullet \hspace{3mm}f'(x)\left ( 1+\frac{1}{f^{2}\left ( x \right )} \right )\leq 2$ , για κάθε $x\in \left [ 0,1 \right ]$ .

(α.i.) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f^{2}(x)=2xf(x)+1}$ , για κάθε $x\in \left [ 0,1 \right ]$ .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}}$ , για κάθε $x\in \left [ 0,1 \right ]$ .

(β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση είναι αδύνατη:

$\displaystyle{\displaystyle \frac{{x - 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{y - 1 + \sqrt {{y^2} + 1} }} = \frac{{1 - y - \sqrt {{y^2} + 1} + \sqrt 2 }}{{x - 1 + \sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt 2 }}, \hspace{4mm}x,y\in (0,1)}$
(γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη με $\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^{2}-1}{2x}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in \left [ 1,1+\sqrt{2} \right ]}$ .

(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1 .