Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση ![f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}^{\ast }](https://i1.wp.com/www.mathematica.gr/forum/latexrender/pictures/454dc244713f60aaaf1e70f104579745.png "f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}^{\ast }")
, για την οποία ισχύουν:
, για κάθε ![x\in \left [ 0,1 \right ]](https://i0.wp.com/www.mathematica.gr/forum/latexrender/pictures/6c33a6c363fd621c68b448a8bcad2f84.png "x\in \left [ 0,1 \right ]")
.
(α.i.) Να αποδείξετε ότι 
, για κάθε .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι 
, για κάθε .
(β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη 
και ελάχιστη 
τιμή της συνάρτησης 
και στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση είναι αδύνατη:
(γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη με 
, για κάθε ![\displaystyle{x\in \left [ 1,1+\sqrt{2} \right ]}](https://i1.wp.com/www.mathematica.gr/forum/latexrender/pictures/56e60811f83a33991f57533a4ca89aac.png "\displaystyle{x\in \left [ 1,1+\sqrt{2} \right ]}")
.
(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου 
, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία 
.
Πηγή: mathematica
Leave a Reply