Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Γ΄Λυκείου, ένα ωραίο θέμα!

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}^{\ast }, για την οποία ισχύουν:

\displaystyle \bullet \hspace{3mm}f^{2}(0)+f^{2}(1)+4+2\sqrt{2}\leq 2\left ( f(0)+\left ( 1+\sqrt{2} \right )f(1) \right )

\displaystyle \bullet \hspace{3mm}f'(x)\left ( 1+\frac{1}{f^{2}\left ( x \right )} \right )\leq 2, για κάθε x\in \left [ 0,1 \right ].

(α.i.) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f^{2}(x)=2xf(x)+1}, για κάθε x\in \left [ 0,1 \right ].
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}}, για κάθε x\in \left [ 0,1 \right ].

(β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη M και ελάχιστη m τιμή της συνάρτησης f και στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση είναι αδύνατη:

\displaystyle{\displaystyle \frac{{x - 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{y - 1 + \sqrt {{y^2} + 1} }} = \frac{{1 - y - \sqrt {{y^2} + 1}  + \sqrt 2 }}{{x - 1 + \sqrt {{x^2} + 1}  - \sqrt 2 }}, \hspace{4mm}x,y\in (0,1)}
(γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη με \displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^{2}-1}{2x}}, για κάθε \displaystyle{x\in \left [ 1,1+\sqrt{2} \right ]}.

(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου \Omega, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1.

Πηγή: mathematica

 

Posted in Χωρίς κατηγορία

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Recent Posts
January 2017
M T W T F S S
« Dec   Feb »
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031  
Pages
Blog Stats
  • 280,912 hits

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Join 2,967 other followers

Follow ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ on WordPress.com
in search of Physics

ένα project για τη διδασκαλία της Φυσικής στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Joy of mathematics

Live Your Maths

Ο άγνωστος χ

Live Your Maths

%d bloggers like this: