Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Γ΄Λυκείου, ένα ωραίο θέμα!

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}^{\ast }, για την οποία ισχύουν:

\displaystyle \bullet \hspace{3mm}f^{2}(0)+f^{2}(1)+4+2\sqrt{2}\leq 2\left ( f(0)+\left ( 1+\sqrt{2} \right )f(1) \right )

\displaystyle \bullet \hspace{3mm}f'(x)\left ( 1+\frac{1}{f^{2}\left ( x \right )} \right )\leq 2, για κάθε x\in \left [ 0,1 \right ].

(α.i.) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f^{2}(x)=2xf(x)+1}, για κάθε x\in \left [ 0,1 \right ].
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}}, για κάθε x\in \left [ 0,1 \right ].

(β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη M και ελάχιστη m τιμή της συνάρτησης f και στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση είναι αδύνατη:

\displaystyle{\displaystyle \frac{{x - 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{y - 1 + \sqrt {{y^2} + 1} }} = \frac{{1 - y - \sqrt {{y^2} + 1}  + \sqrt 2 }}{{x - 1 + \sqrt {{x^2} + 1}  - \sqrt 2 }}, \hspace{4mm}x,y\in (0,1)}
(γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη με \displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^{2}-1}{2x}}, για κάθε \displaystyle{x\in \left [ 1,1+\sqrt{2} \right ]}.

(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου \Omega, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1.

Πηγή: mathematica

 

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s