Οι αρχαίες ρίζες του συνόλου των πραγματικών αριθμών!

Μία σημαντική ομιλία από τον ομότιμο καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών, Στυλιανό Νεγρεπόντη. Μπορείτε να παρακολουθήσετε την εν λόγω ομιλία, στον σύνδεσμο που ακολουθεί:

Λίγα λόγια για την ομιλία από τον ίδιο:

Στην ομιλία θα παρουσιάσω στοιχεία σύμφωνα με τα οποία ένα κεντρικό μέρος της Ιστορίας των αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών ερμηνεύεται ως προσπάθεια δόμησης των πραγματικών αριθμών. Η θεωρία λόγων αριθμών (με βάση τις Προτάσεις 7.1-2 των Στοιχείων για τον Ευκλείδειο αλγόριθμο=ανθυφαίρεση και μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών) και η θεωρία λόγων συμμέτρων μεγεθών (με βάση την Πρόταση 10.3 των Στοιχείων) από τους Πυθαγόρειους αντιστοιχεί στη σύγχρονή θεωρία των (θετικών) ρητών αριθμών. Οι ανακαλύψεις ασύμμετρων μεγεθών (α, β, όταν α2=2β2 από τους Πυθαγόρειους, α2=Νβ2 για N μη τετράγωνο αριθμό μέχρι N=17 από τον Θεόδωρο, και α2=Νβ2 για κάθε μη τετράγωνο αριθμό N από τον Θεαίτητο, σύμφωνα με το χωρίο 147d-148d στον Πλατωνικό διάλογο Θεαίτητος) με ανθυφαιρετικές μεθόδους δημιούργησαν την ανάγκη για μια θεωρία λόγων μεγεθών για την περιορισμένη κλάση των τετραγωνικών ασυμμετριών, η οποία πραγματοποιήθηκε από τον Θεαίτητο με ορισμό αναλογίας την ίση ανθυφαίρεση (σύμφωνα με το χωρίο 158-159 του Αριστοτελικού έργου Τοπικά). Η μη ανθυφαιρετική απόδειξη ασυμμετρίας της Πρότασης του Θεαίτητου (αν α2=Νβ2 και N μη τετράγωνος αριθμός, τότε α, β είναι ασύμμετρα) από τον Αρχύτα (και τους μαθητές του), άνοιξε τον δρόμο για μια γενική (με χρήση του ορισμού 5.4 των Στοιχείων=αρχή Ευδόξου-Αρχιμήδη) μη ανθυφαιρετική θεωρία λόγων μεγεθών από τον Εύδοξο, μαθητή του Αρχύτα, η οποία εκτίθεται στο βιβλό 5 των Στοιχείων. Ο ορισμός των πραγματικών αριθμών ως τομές Dedekind από τον Dedekind το 1870 συμπίπτει με τον περίφημο ορισμό 5.5 των Στοιχείων. Η μόνη διαφορά (όπως έγινε σαφές από την αλληλογραφία Dedekind-Lipschitz στα 1876) είναι ότι ο Dedekind απέδειξε με αυτόν τον ορισμό την ιδιότητα της πληρότητος των πραγματικών αριθμών (κάθε μη κενό άνω φραγμένο υποσύνολο πραγματικών αριθμών έχει ελάχιστο άνω φράγμα.

 

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s