Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Θέμα Α Έστω συνάρτηση A:\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2} (\mathbb{R}) τέτοια ώστε

\displaystyle{A(x) = \begin{bmatrix} 
1+5x &-2x \\  
10x & -4x+1  
\end{bmatrix}}

  1. Να υπολογιστεί το \left ( A(1) - \mathbb{I}_{2 \times 2} \right )^2.
  2. Να αποδειχθεί η σχέση \displaystyle{A(x)A(y) = A\left ( x+y+xy \right )} για κάθε \displaystyle{x , y \in \mathbb{R}}.
  3. Να υπολογιστεί το γινόμενο \displaystyle{\Pi =A(1)A(2)\cdots \cdot A(2019)}.

Θέμα Β Θεωρούμε το πολυώνυμο f(x)=x^3-px^2+(p+1)x + 1 \in \mathbb{R}[x] και έστω \gamma_1 \; , \; \gamma_2 \; , \; \gamma_3 \in \mathbb{C} οι ρίζες αυτού.

  1. Να προσδιοριστεί το p \in \mathbb{R} ώστε \displaystyle{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3 = \frac{1}{\gamma_1} + \frac{1}{\gamma_2} + \frac{1}{\gamma_3}}.
  2. Να δειχθεί ότι x^2-1 \nmid f διά κάθε p \in \mathbb{R}.
  3. Για p=1 να υπολογιστεί η παράσταση \gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2 και να δειχθεί ότι η f έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

Θέμα Γ Θεωρούμε συνάρτηση f:\mathbb{R} \setminus [-3, 0] \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle{f(x) = \ln \left (1+ \frac{3}{x} \right ) \quad \text{\gr για κάθε} \quad x \in \mathbb{R} \setminus [-3, 0]}

  1. Να δειχθεί ότι στο (-\infty, -3) η f είναι κοίλη.
  2. Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \left ( f(1)+f(2) + \cdots + f(n) - \ln \frac{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{6}  \right )}.
  3. Να δειχθεί ότι υπάρχει \xi \in (2, 3) τέτοιο ώστε \left ( \xi -2 \right )f'(\xi) + f(\xi) = \ln 2.

Θέμα Δ θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g:[1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{f(x)=\ln x + \frac{1}{x}} και \displaystyle{g(x)=(x+1) \ln x - x + 1}.

  1. Να δειχθεί ότι η g είναι μία παράγουσα της f.
  2. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \bigintsss_1^e f(x) \, \mathrm{d}x.
  3. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \bigintsss_1^3 f(x) g(x) \, \mathrm{d}x.

 

Πηγή

 

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s