Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Θέμα Α Έστω συνάρτηση A:\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2} (\mathbb{R}) τέτοια ώστε

\displaystyle{A(x) = \begin{bmatrix} 
1+5x &-2x \\  
10x & -4x+1  
\end{bmatrix}}

  1. Να υπολογιστεί το \left ( A(1) - \mathbb{I}_{2 \times 2} \right )^2.
  2. Να αποδειχθεί η σχέση \displaystyle{A(x)A(y) = A\left ( x+y+xy \right )} για κάθε \displaystyle{x , y \in \mathbb{R}}.
  3. Να υπολογιστεί το γινόμενο \displaystyle{\Pi =A(1)A(2)\cdots \cdot A(2019)}.

Θέμα Β Θεωρούμε το πολυώνυμο f(x)=x^3-px^2+(p+1)x + 1 \in \mathbb{R}[x] και έστω \gamma_1 \; , \; \gamma_2 \; , \; \gamma_3 \in \mathbb{C} οι ρίζες αυτού.

  1. Να προσδιοριστεί το p \in \mathbb{R} ώστε \displaystyle{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3 = \frac{1}{\gamma_1} + \frac{1}{\gamma_2} + \frac{1}{\gamma_3}}.
  2. Να δειχθεί ότι x^2-1 \nmid f διά κάθε p \in \mathbb{R}.
  3. Για p=1 να υπολογιστεί η παράσταση \gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2 και να δειχθεί ότι η f έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

Θέμα Γ Θεωρούμε συνάρτηση f:\mathbb{R} \setminus [-3, 0] \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle{f(x) = \ln \left (1+ \frac{3}{x} \right ) \quad \text{\gr για κάθε} \quad x \in \mathbb{R} \setminus [-3, 0]}

  1. Να δειχθεί ότι στο (-\infty, -3) η f είναι κοίλη.
  2. Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \left ( f(1)+f(2) + \cdots + f(n) - \ln \frac{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{6}  \right )}.
  3. Να δειχθεί ότι υπάρχει \xi \in (2, 3) τέτοιο ώστε \left ( \xi -2 \right )f'(\xi) + f(\xi) = \ln 2.

Θέμα Δ θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g:[1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{f(x)=\ln x + \frac{1}{x}} και \displaystyle{g(x)=(x+1) \ln x - x + 1}.

  1. Να δειχθεί ότι η g είναι μία παράγουσα της f.
  2. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \bigintsss_1^e f(x) \, \mathrm{d}x.
  3. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \bigintsss_1^3 f(x) g(x) \, \mathrm{d}x.

 

Πηγή

 

Posted in Χωρίς κατηγορία

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

Translate
July 2019
M T W T F S S
« Jun   Aug »
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031  
Pages
Blog Stats
  • 515,543 hits

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Join 3,000 other followers

Follow ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ on WordPress.com
in search of Physics

ένα project για τη διδασκαλία της Φυσικής στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Joy of mathematics

Live Your Maths

Ο άγνωστος χ

Live Your Maths

%d bloggers like this: