Κρυπτογραφία και Μαθηματικά – Η μέθοδος RSA

Η λέξη κρυπτογραφία (cryptography) προέρχεται από τα συνθετικά «κρυπτός» + «γράφω» και είναι ένα διεπιστημονικό γνωστικό πεδίο που ασχολείται με τη μελέτη, την ανάπτυξη και τη χρήση τεχνικών κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης με σκοπό την απόκρυψη του περιεχομένου των μηνυμάτων. Η κρυπτογραφία είναι ο ένας από τους δύο κλάδους της κρυπτολογίας (ο άλλος είναι η κρυπτανάλυση), η οποία ασχολείται με τη μελέτη της ασφαλούς επικοινωνίας.

Ιστορία Αλγόριθμου RSA

Ο αλγόριθμος RSA, που αναπτύχθηκε το 1977 από τους Rivest, Shamir και Adlemen (εξού και R.S.A), είναι ένας αλγόριθμος για την κρυπτογραφίας μηνυμάτων και ψηφιακές υπογραφές . Χρησιμοποιούνται δυο κλειδιά, ένα δημόσιο κατά τη διάρκεια της κρυπτογράφησης και ένα ιδιωτικό για την αποκρυπτογράφηση. Ο RSA βασίζεται στη δυσκολία παραγοντοποίησης μεγάλων αριθμών ( συνήθως της τάξης των 1024 με 2048 bits).

Από τα αριστερά στα δεξιά: Adi Shamir, Ron Rivest, and Len Adleman (1978, MIT)

Τρόπος λειτουργίας συστημάτων του δημόσιου κλειδιού

Ο παραλήπτης ενός μηνύματος παράγει δύο (μεγάλους) πρώτους ακεραίους p, q και έναν ακέραιο d, ο οποίος είναι πρώτος προς τον z = (p-1)*(q-1). Υπολογίζει τον n = p*q και τον αντίστροφο e του d modulo z [από την εξίσωση : (e*d) = 1 (mod z)]. To ζεύγος (e, n), δημόσιο κλειδί, τοποθετείται στον δημόσιο κατάλογο κλειδιών και το ζεύγος (d, n), ιδιωτικό κλειδί, κρατείται μυστικό.

Ο αποστολέας μηνύματος P κάνει χρήση του ζεύγους (e,n) του παραλήπτη και μετασχηματίζει το μήνυμα P σε C σύμφωνα με το γνωστό σχήμα : C = Pe mod n. Η παραγόμενη ακολουθία αριθμών ή χαρακτήρων διαβιβάζεται στον παραλήπτη.

Ο παραλήπτης επανασυνθέτει το μήνυμα P από το C με εφαρμογή του τύπου: P = Cd mod n.

Η ασφάλεια της απόκρυψης βασίζεται στο γεγονός της μη ύπαρξης γρήγορων αλγορίθμων για την παραγοντοποίηση αριθμών. Αν οι p, q είναι αρκετά μεγάλοι, το γινόμενό τους n δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί μέσα σε λογικό χρόνο (ή ισοδύναμα : δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το z = (p-1)*(q-1) και άρα πιθανές τιμές των d, e).

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ

Παράδειγμα της χρήσης του R.S.A  από ένα ερωτευμένο ζευγάρι

 Εάν ο Ρωμαίος και η Ιουλιέτα ήξεραν αυτό τον τρόπο επικοινωνιάς μεταξύ τους , τότε πιθανότατα το θεατρικό έργο του Ουίλλιαμ Σαίξπηρ θα είχε άλλη τροπή…

Αλλά εμείς θα σταθούμε στον Bob και την Alice

Δείτε το σχετικό video:

Άρθρο του Βαγγέλη Γκούμα, Μαθηματικός

Πηγή: Ma8imatikos.gr

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s