Σε αυτό το άρθρο, σας παρουσιάζω 14 ενδιαφέρουσες μαθηματικές αλήθειες που έχω συλλέξει όλα τα προηγούμενα χρόνια ως καθηγητής. Γενικά, παραθέτω μία ιδιαίτερη συλλογή από αυτές που παρουσιάζω σε πρωτοετείς φοιτητές στην πρώτη τους ημέρα, σαν μία εισαγωγή στο πανεπιστήμιο και παράλληλα, επιθυμώ να τους βάλω απλώς να σκεφτούν. Κάποιες από αυτές βρίσκονται στο απλό επίπεδο ενδιαφέροντος όπως λ.χ. «εντάξει, απλό είναι αυτό», ενώ κάποια άλλα στο «ωχ, πώς έγινε αυτό;». Ωστόσο, θα αφήσω εσάς να το κρίνετε. Κάποιες από τις αλήθειες είναι εύκολο να τις εξηγήσετε και απαιτούν ελάχιστη σκέψη, ενώ κάποιες άλλες θέλουν λίγη περισσότερη, γι’ αυτό, έχω προσθέσει και κάποια σχόλια στην πορεία. Ελπίζω όλοι να μπορέσουν να κερδίσουν κάτι μέσα από αυτή τη λίστα.
1. Οι αριθμοί στις αντικρυστές έδρες ενός ζαριού έχουν πάντοτε άθροισμα επτά.
2. Το μηδέν είναι άρτιος αριθμός.
Κάποιοι από εμάς θα πουν εύκολα «ναι, το ξέρω αυτό», αλλά αρκετοί άλλοι δεν είχαν αναρωτηθεί ποτέ γι΄αυτό.
Κάθε χρόνο κάνω μία σειρά από ερωτήσεις στους πρωτοετείς φοιτητές μου για να τους βάλω σε σκέψεις και το συγκεκριμένο αποτελεί μία από αυτές, αφού τους ωθεί στο να θυμηθούν τον ορισμό του πότε ένας αριθμός, είναι άρτιος. Πάντα παίρνω την ίδια απάντηση. Όλοι στο αμφιθέατρο είναι πρόθυμοι να ισχυριστούν ότι ξέρουν τι είναι ένας άρτιος αριθμός, ωστόσο ελάχιστοι είναι πρόθυμοι να εξηγήσουν γιατί πιστεύουν ότι το μηδέν είναι άρτιος.
Για την ακρίβεια, ένας καλός ορισμός ενός άρτιου αριθμού είναι ο εξής: ένας αριθμός θεωρείται άρτιος αν, όταν διαιρεθεί με το 2, παραμένει ακέραιος. Το μηδέν ταιριάζει απόλυτα στον άνωθεν ορισμό, αφού 0/2=0.
3. Ένα χρήσιμο τέχνασμα για τα ποσοστά.
Ξέρατε ότι το x% του y είναι ίσο με το y% του x;
Αυτό μπορεί να καταστήσει την εργασία με τα ποσοστά πολύ ευκολότερη. Για παράδειγμα, προσπαθήστε νοερά να υπολογίσετε το 8% του 50. Δεν είναι και τόσο εύκολο, έτσι; Τώρα αντιστρέψτε τα και, αντ’ αυτού, προσπαθήστε να υπολογίσετε το 50% του 8. Νομίζω είναι ξεκάθαρο ποιο είναι ευκολότερο. Ομοίως, το 32% του 75 μοιάζει δύσκολο να υπολογιστεί, ενώ το 75% του 32 φαίνεται πολύ απλούστερος γρίφος.
4. Κάθε περιττός αριθμός, όταν γραφτεί στα Αγγλικά, περιλαμβάνει ένα «e».
5. Το τέσσερα είναι ο μόνος αριθμός που, όταν γραφτεί στα Αγγλικά (four), έχει τόσα γράμματα, όσα εκφράζει ο ίδιος ο αριθμός.
6. Γράψτε τα 13 είδη των χαρτιών της τράπουλας (άσσος, δύο, τρία, …, ντάμα, ρήγας) στα Αγγλικά (ace, two, three, four, five, six, seven, eight, nine, ten, jack, queen, king). Εάν αθροίσετε το πλήθος των γραμμάτων αυτών των λέξεων, θα βρείτε ότι είναι 52 γράμματα, όσα ακριβώς και τα χαρτιά σε μία τράπουλα (εκτός από τα τζόκερ).
7. Ο μόνος αριθμός που, όταν γραφτεί στα Αγγλικά, τα γράμματά του βρίσκονται σε αλφαβητική σειρά, είναι το σαράντα (forty). Ο μόνος αριθμός που, όταν γραφτεί στα Αγγλικά, τα γράμματά του βρίσκονται σε αντίστροφη αλφαβητική σειρά, είναι το ένα (one).
8. Μπορείτε να κόψετε μία τούρτα σε 8 ίσα κομμάτια, κάνοντας μόνο 3 τομές.
Αρκετοί άνθρωποι μου έχουν πει ότι το συγκεκριμένο χρησιμοποιείται ως ερώτηση σε συνεντεύξεις από πολλές εταιρείες, προκειμένου να ελέγξουν αν οι υποψήφιοι σκέφτονται «έξω από το κουτί».
Το κόλπο εδώ είναι να σκεφτείτε την τούρτα όχι σαν έναν δισδιάστατο κύκλο, όπως κάνουν οι περισσότεροι, αλλά σαν έναν τρισδιάστατο κύλινδρο, που και είναι άλλωστε. Αυτό μας επιτρέπει να κάνουμε όχι μόνο τις συνηθισμένες κατακόρυφες τομές, αλλά μπορούμε να κάνουμε και μία οριζόντια τομή. Οπότε, αν χρησιμοποιήσουμε τις δύο τομές ώστε να σχηματίσουμε έναν σταυρό στην κορυφή της τούρτας, χωρίζοντάς την σε τέσσερα ίσα κομμάτια, και χρησιμοποιήσουμε την τρίτη τομή κόβοντας οριζόντια κατά μήκος του κέντρου της τούρτας, χωρίζοντας καθένα από τα τέσσερα κομμάτια στο μισό, θα πάρουμε τα 8 ίσα κομμάτια.
9. Σε ένα συνωστισμένο δωμάτιο, δύο άτομα πιθανότατα θα έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα.
Αυτό είναι λίγο ασαφές. Τι σημαίνει «συνωστισμένο» και πόσο πιθανό είναι το «πιθανότατα»; Πολύ καλές ερωτήσεις!
Προκύπτει, και αυτό μπορεί να αποδειχθεί πολύ εύκολα με λίγη βασική γνώση πιθανοτήτων, ότι εάν βρίσκονται 23 άτομα στο δωμάτιο, υπάρχει 50% πιθανότητα δύο από αυτούς να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια.
Ξέρω, αυτό ακούγεται εντελώς παράλογο. Επιτρέψτε μου να προσθέσω σε αυτό που θεωρείτε παράλογο ότι, αν το δωμάτιο μεγαλώσει ώστε να χωράει 70 άτομα, τώρα η πιθανότητα δύο άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι 99,9%!
Αυτό είναι το παράδοξο των γενεθλίων (ή πρόβλημα των γενεθλίων), το οποίο σας συστήνω ανεπιφύλακτα να ερευνήσετε περαιτέρω (Σ.τ.Μ.: υπάρχει στο blog μας ένα άρθρο στο οποίο μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα για το παράδοξο των γενεθλίων). Ελπίζω να γράψω ένα σύντομο άρθρο περί αυτού πολύ σύντομα.
10. Έξι εβδομάδες έχουν ακριβώς 10! δευτερόλεπτα.
Για όσους δεν το γνωρίζουν, για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο n, το n!, που διαβάζεται ως «n παραγοντικό», αναπαριστά το γινόμενο όλων των θετικών ακέραιων που είναι μικρότεροι ή ίσοι με το n. Έτσι, για παράδειγμα 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
Επομένως, για να αποδείξουμε ότι 10! δευτερόλεπτα = 6 εβδομάδες, ας μετατρέψουμε τις 6 εβδομάδες σε δευτερόλεπτα.
Ας προσπαθήσουμε τώρα να το ξαναγράψουμε, ώστε να μοιάζει με το 10!,
11. Μία μέρα έχει ακριβώς 5⁵× 4⁴ × 3³ × 2² × 1¹ χιλιοστά του δευτερολέπτου (milliseconds).
12. Πολλαπλασιάζοντας άσσους θα παίρνουμε πάντα παλινδρομικούς αριθμούς.
Για όσους δεν το γνωρίζουν, ένας παλινδρομικός αριθμός είναι απλώς ένας αριθμός που είναι ο ίδιος αν διαβαστεί από τα αριστερά προς τα δεξιά ή από τα δεξιά προς τα αριστερά, για παράδειγμα, ο αριθμός 23432.
Οπότε, αν υπολογίσουμε το 1×1, θα πάρουμε 1. Εντάξει, αυτό είναι λίγο τετριμμένο, οπότε ας προχωρήσουμε παραπέρα.
11 × 11 = 121,
111 × 111 = 12321,
1111 × 1111 = 1234321,
Και συνεχίζουμε. Αν πολλαπλασιάσουμε 111111111 × 111111111, θα πάρουμε 12345678987654321.
Επιπλέον, δεν είναι απαραίτητο να έχουμε το ίδιο πλήθος άσσων στους δύο αριθμούς που πολλαπλασιάζουμε. Για παράδειγμα, 11 × 1111 = 12221 και 111111 × 1111 = 123444321.
13. Το 18 είναι ο μόνος αριθμός που είναι το διπλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων του.
Παρόλο που είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι αυτό ισχύει για το 18, απαιτεί λίγη παραπάνω σκέψη για να ισχυριστούμε ότι το 18 είναι ο μόνος αριθμός για τον οποίο ισχύει αυτό.
14. Ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός 0,9999… είναι ακριβώς ίσος με 1.
Μπορώ να σας δώσω μία αρκετά απλή απόδειξη του συγκεκριμένου.
Έστω x = 0,9999. . . .
Τότε, πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της εξίσωσης με δέκα, έχουμε
10x = 9,9999. . . .
Αν αφαιρέσουμε x = 0,9999. . . από τα δύο μέλη, έχουμε 10x − x = (9,9999. . . ) − (0,9999. . . ) ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1.
Κάτι ανάλογο ισχύει και για οποιονδήποτε αριθμό περιλαμβάνει μία άπειρη σειρά από 9ρια. Για παράδειγμα, 0,4999…. = 0.5, 19,999… = 20 και −2,999…= −3.
Για να είμαι ειλικρινής, ποτέ δεν ήμουν αρκετά ευχαριστημένος με τη συγκεκριμένη απόδειξη. Φυσικά και εκτελεί τον σκοπό της, που είναι να τονίσει τι συμβαίνει εδώ, αλλά για αυτούς που έχουν σπουδάσει οποιοδήποτε επίπεδο της πραγματικής ανάλυσης, μπορεί να μοιάζει σαν ένα φθηνό κόλπο. Συμφωνώ κάπως, και για αυτούς που ενδιαφέρονται, θα πρέπει να ψάξετε την απόδειξη, χρησιμοποιώντας όρια ακολουθιών! Για την ακρίβεια, μπορείτε να δείτε μία επίσημη απόδειξη εδώ.
Αυτό ήταν λοιπόν, 14 ενδιαφέρουσες μαθηματικές αλήθειες, που θα σας μεταμορφώσουν στην ψυχή οποιουδήποτε πάρτι, κι αν όχι, τότε μάλλον πηγαίνετε σε λάθος πάρτι! Σας ευχαριστώ για την ανάγνωση.
Πηγή: cantorsparadise.com
Γράφει ο: StephenwithaPhD
Μετάφραση – Επιμέλεια : Χρήστος Κ. Λοΐζος, Χρήστος Κατσανδρής
