Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Θέμα Α Έστω συνάρτηση $A:\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2} (\mathbb{R})$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{A(x) = \begin{bmatrix} 1+5x &-2x \\ 10x & -4x+1 \end{bmatrix}}$

Να υπολογιστεί το $\left ( A(1) - \mathbb{I}_{2 \times 2} \right )^2$ .
Να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{A(x)A(y) = A\left ( x+y+xy \right )}$ για κάθε $\displaystyle{x , y \in \mathbb{R}}$ .
Να υπολογιστεί το γινόμενο $\displaystyle{\Pi =A(1)A(2)\cdots \cdot A(2019)}$ .

Θέμα Β Θεωρούμε το πολυώνυμο $f(x)=x^3-px^2+(p+1)x + 1 \in \mathbb{R}[x]$ και έστω $\gamma_1 \; , \; \gamma_2 \; , \; \gamma_3 \in \mathbb{C}$ οι ρίζες αυτού.

Να προσδιοριστεί το $p \in \mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3 = \frac{1}{\gamma_1} + \frac{1}{\gamma_2} + \frac{1}{\gamma_3}}$ .
Να δειχθεί ότι $x^2-1 \nmid f$ διά κάθε $p \in \mathbb{R}$ .
Για να υπολογιστεί η παράσταση $\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2$ και να δειχθεί ότι η έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

Θέμα Γ Θεωρούμε συνάρτηση $f:\mathbb{R} \setminus [-3, 0] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) = \ln \left (1+ \frac{3}{x} \right ) \quad \text{\gr για κάθε} \quad x \in \mathbb{R} \setminus [-3, 0]}$

Να δειχθεί ότι στο $(-\infty, -3)$ η είναι κοίλη.
Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \left ( f(1)+f(2) + \cdots + f(n) - \ln \frac{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{6} \right )}$ .
Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in (2, 3)$ τέτοιο ώστε $\left ( \xi -2 \right )f'(\xi) + f(\xi) = \ln 2$ .

Θέμα Δ θεωρούμε τις συναρτήσεις $f, g:[1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x)=\ln x + \frac{1}{x}}$ και $\displaystyle{g(x)=(x+1) \ln x - x + 1}$ .