Ας ρίξουμε μία ματιά στους αριθμούς 294.001, 505.447 και 584.141. Παρατηρείτε κάτι ιδιαίτερο; Ίσως να αναγνωρίσατε ότι όλοι είναι πρώτοι — διαιρούνται μόνο από τη μονάδα και τον εαυτό τους — ωστόσο, οι συγκεκριμένοι πρώτοι είναι ακόμα πιο ασυνήθιστοι.
Αν επιλέξετε οποιοδήποτε ψηφίο αυτών των αριθμών και το αλλάξετε, ο αριθμός που θα προκύψει θα είναι σύνθετος, δηλαδή όχι πια πρώτος. Για παράδειγμα, αλλάξτε το 1 στον 294.001 σε 7 και ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 7. Αν το αλλάξετε σε 9, ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 3.
Τέτοιοι αριθμοί αποκαλούνται «ψηφιακά ευαίσθητοι» πρώτοι (digitally delicate primes) και αποτελούν μία σχετικά πρόσφατη μαθηματική εφεύρεση. Το 1978, ο μαθηματικός και διάσημος δημιουργός προβλημάτων Murray Klamkin, αναρωτήθηκε αν υπάρχουν αριθμοί όπως αυτοί. Η ερώτησή του έλαβε γρήγορη απάντηση από έναν από τους πιο διάσημους λύτες προβλημάτων όλων των εποχών, τον Paul Erdős. Απέδειξε ότι, όχι μόνο υπήρχαν, αλλά ήταν και άπειροι — ένα συμπέρασμα που ισχύει σε όλα τα συστήματα αρίθμησης και όχι μόνο στο δεκαδικό. Άλλοι μαθηματικοί εξέλιξαν την ανακάλυψη του Erdős, μαζί και ο Terence Tao, νικητής του Μεταλλίου Φιλντς, ο οποίος απέδειξε το 2011 σε μία έρευνα ότι μία “θετική αναλογία” πρώτων αριθμών είναι «ψηφιακά ευαίσθητοι» (για όλα τα συστήματα αρίθμησης και πάλι). Αυτό σημαίνει ότι η μέση απόσταση μεταξύ διαδοχικών «ψηφιακά ευαίσθητων» πρώτων παραμένει σχετικά σταθερή όσο οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί μεγαλώνουν απεριόριστα — με άλλα λόγια, οι «ψηφιακά ευαίσθητοι» πρώτοι δεν λιγοστεύουν μεταξύ των πρώτων αριθμών.
Τώρα, σε δύο πρόσφατες έρευνες, ο Michael Filaseta του Πανεπιστημίου της Νότιας Καρολίνας πήγε την ιδέα αυτή ένα βήμα παραπέρα, καταλήγοντας σε μία ακόμα πιο σπάνια κατηγορία ψηφιακά ευαίσθητων πρώτων αριθμών.
“Είναι ένα αξιοσημείωτο συμπέρασμα”, είπε ο Paul Pollack από το Πανεπιστήμιο της Τζόρτζια.
Εμπνευσμένος από τα έργα των Erdős και Tao, ο Filaseta αναρωτήθηκε τι θα γινόταν εάν ένα άπειρο πλήθος μηδενικών προστίθετο στην αρχή του πρώτου αριθμού. Δηλαδή, οι αριθμοί 53 και …0000000053 έχουν την ίδια αξία. Αλλάζοντας ένα τέτοιο μηδενικό σε έναν «ψηφιακά ευαίσθητο» πρώτο θα τον έκανε αυτομάτως σύνθετο;
Ο Filaseta αποφάσισε να ονομάσει τέτοιους αριθμούς, θεωρώντας ότι όντως υπάρχουν, “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητους” πρώτους αριθμούς (widely digitally delicate), και ερεύνησε τις ιδιότητές τους σε μία έρευνα που δημοσιεύτηκε τον Νοέμβριο του 2020 μαζί με τον απόφοιτο Jeremiah Southwick.
Προφανώς, η επιπρόσθετη συνθήκη κάνει αυτούς τους αριθμούς ακόμα πιο δυσεύρετους. “Ο 294.001 είναι μεν “ψηφιακά ευαίσθητος” πρώτος, αλλά δεν είναι “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητος”, είπε ο Pollack, “αφού αν αλλάξουμε το …000.294.001 σε …010.294.001, παίρνουμε 10.294.001” — που είναι επίσης πρώτος!
Στην πραγματικότητα, οι Filaseta και Southwick δεν έχουν καταφέρει να βρουν ένα παράδειγμα “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητου” πρώτου στο δεκαδικό σύστημα, παρόλο που έχουν αναζητήσει όλους τους ακέραιους μέχρι και το δισεκατομμύριο. Αλλά αυτό, δεν τους εμπόδισε από το να καταλήξουν σε κάποια ισχυρά πορίσματα για αυτούς τους υποθετικούς αριθμούς.
Πρώτον, έδειξαν ότι τέτοιοι αριθμοί υπάρχουν όντως στο δεκαδικό σύστημα, και έτι περαιτέρω, είναι άπειροι. Επιπλέον, απέδειξαν ότι ένα θετικό ποσοστό πρώτων αριθμών είναι ευρέως ψηφιακά ευαίσθητοι, όπως ακριβώς έκανε ο Tao για τους ψηφιακά ευαίσθητους πρώτους. (Στη διδακτορική του διατριβή, ο Southwick έφτασε στο ίδιο συμπέρασμα και για τα συστήματα αρίθμησης με βάση τους αριθμούς 2 έως 9, 11 και 31).
Ο Pollack ήταν εντυπωσιασμένος από τις ανακαλύψεις. “Υπάρχουν άπειροι διαφορετικοί τρόποι να πειράξουμε αυτούς τους αριθμούς και, ανεξάρτητα από το ποιον θα διαλέξουμε, θα λάβουμε επιβεβαιωμένα έναν σύνθετο αριθμό”, είπε.
Η απόδειξη βασίστηκε σε δύο εργαλεία. Το πρώτο, που ονομάζεται συστήματα κάλυψης (covering systems) ή πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ισοτιμιών (covering congruences), επινοήθηκε από τον Erdős το 1950, προκειμένου να λύσει ένα άλλο πρόβλημα της θεωρίας αριθμών. Ο Southwick είπε: “Αυτό που κάνει ένα σύστημα κάλυψης, είναι να μας δώσει έναν μεγάλο αριθμό κατηγοριών, με την βεβαιότητα ότι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος περιέχεται σε μία τουλάχιστον από αυτές τις κατηγορίες”. Εάν, για παράδειγμα, διαιρέσουμε όλους τους θετικούς ακέραιους με το 2, θα καταλήξουμε σε δύο κατηγορίες: μία που περιλαμβάνει τους άρτιους αριθμούς, με υπόλοιπο 0, και μία που περιλαμβάνει τους περιττούς αριθμούς, με υπόλοιπο 1. Με αυτόν τον τρόπο όλοι οι θετικοί ακέραιοι έχουν “καλυφθεί” και οι αριθμοί που περιλαμβάνονται στην ίδια κατηγορία, θεωρούνται “ισότιμοι” μεταξύ τους.
Το θέμα των “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητων” πρώτων είναι πιο περίπλοκο, φυσικά. Χρειαζόμαστε πολύ περισσότερες κατηγορίες, περίπου της τάξεως του 1025.000, και σε μία από αυτές τις κατηγορίες, κάθε πρώτος αριθμός εγγυημένα γίνεται σύνθετος, αν οποιοδήποτε από τα ψηφία του, συμπεριλαμβανομένων των προπορευόμενων μηδενικών, αυξηθεί.
Για να είναι όμως “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητος” ένας πρώτος αριθμός, πρέπει να γίνεται σύνθετος αν οποιοδήποτε από τα ψηφία του μειωθεί. Εδώ έρχεται και το δεύτερο εργαλείο, που ονομάζεται κόσκινο. Οι μέθοδοι των κόσκινων, που χρονολογούνται πίσω στην Αρχαία Ελλάδα, προσφέρουν έναν τρόπο μέτρησης, προσέγγισης και οριοθέτησης του πλήθους ακεραίων που ικανοποιούν συγκεκριμένες ιδιότητες. Οι Filaseta και Southwick χρησιμοποίησαν ένα κόσκινο, όμοια με την προσέγγιση του Tao το 2011, για να δείξουν ότι, αν πάρουμε πρώτους αριθμούς από την προαναφερθείσα κατηγορία και μειώσουμε ένα από τα ψηφία τους, ένα σημαντικό ποσοστό αυτών των πρώτων αριθμών θα γίνουν σύνθετοι. Με άλλα λόγια, ένα σημαντικό ποσοστό αυτών των πρώτων αριθμών, είναι οι “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητοι”.
“Το θεώρημα Filaseta-Southwick“, είπε ο Pollack, “είναι ένα όμορφο και αναπάντεχο παράδειγμα της δύναμης του πεπερασμένου συνόλου ισοτιμιών”.
Υπάρχουν άπειροι διαφορετικοί τρόποι να πειράξουμε αυτούς τους αριθμούς και, ανεξάρτητα από το ποιον θα διαλέξουμε, θα λάβουμε επιβεβαιωμένα έναν σύνθετο αριθμό.
Paul Pollack, Πανεπιστήμιο της Τζόρτζια
Έπειτα, σε μία έρευνα που δημοσιεύτηκε τον Ιανουάριο, ο Filaseta και ο μεταπτυχιακός του φοιτητής Jacob Juillerat έφτασαν σε ένα ακόμα πιο εντυπωσιακό αποτέλεσμα: Υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλες ακολουθίες διαδοχικών πρώτων, καθένας από τους οποίους είναι “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητος”. Είναι πιθανό, για παράδειγμα, να βρούμε 10 διαδοχικούς πρώτους, οι οποίοι είναι “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητοι”. Για να το πετύχουμε, ωστόσο, θα πρέπει να εξετάσουμε ένα πολύ μεγάλο πλήθος πρώτων, είπε ο Filaseta, “Ίσως περισσότερους από τον αριθμό των ατόμων του σύμπαντος που αντιλαμβανόμαστε”. Συγκρίνει δε το παραπάνω, με το να κερδίσει κάποιος το λαχείο, δέκα φορες (10) στη σειρά. Οι πιθανότητες να συμβεί αυτό είναι ελάχιστες, αλλά σαφώς, όχι μηδενικές!
Οι Filaseta και Juillerat απέδειξαν το θεώρημά τους σε δύο φάσεις. Πρώτον, χρησιμοποίησαν τη θεωρία των “συστημάτων κάλυψης” (πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ισοτιμιών) για να αποδείξουν ότι υπάρχει κατηγορία που περιλαμβάνει άπειρους πρώτους, οι οποίοι είναι όλοι “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητοι”. Σε δεύτερη φάση, εφήρμοσαν ένα θεώρημα, που αποδείχθηκε το 2000 από τον Daniel Shiu, για να δείξουν ότι κάπου μέσα στη λίστα όλων των πρώτων αριθμών, υπάρχει ένα αυθαίρετο πλήθος διαδοχικών πρώτων, που περιλαμβάνεται σε αυτή τη κατηγορία. Αυτοί οι διαδοχικοί πρώτοι, δεδομένου ότι περιλαμβάνονται στην κατηγορία, είναι υποχρεωτικά “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητοι”.
Ο Carl Pomerance από το Κολλέγιο Ντάρτμουθ, έχοντας ενδελεχώς διαβάσει όλες αυτές τις έρευνες και μελετώντας τις προσεκτικά, αποκάλεσε τον Filaseta “ειδικό στην θεωρία του πεπερασμένου συνόλου ισοτιμιών με εφαρμογές σε πολλά και ενδιαφέροντα προβλήματα της θεωρίας αριθμών. Τα μαθηματικά μπορούν να είναι μία άσκηση που μας δίνει ισχυρά εργαλεία που μας κατευθύνουν, αλλά μπορούν να είναι όμως και απλά, μία καθαρή διασκέδαση”.
Την ίδια στιγμή, ο Pomerance σημείωσε ότι, η αναπαράσταση ενός αριθμού από τα ψηφία του στο δεκαδικό σύστημα μπορεί να είναι βολική, “αλλά δεν μπορεί στην ουσία η αναπαράσταση αυτή, να εξηγήσει τι είναι αυτός ο αριθμός επ’ακριβώς”. Υπάρχουν πιο θεμελιώδεις τρόποι αναπαράστασης αριθμών, ισχυρίστηκε, όπως ο τρόπος που ορίζονται οι πρώτοι Μερσέν — οι πρώτοι της μορφής 
Ο Filaseta συμφωνεί. Παρόλα αυτά, πρόσφατες μελέτες εγείρουν ερωτήσεις που έχουν ενδιαφέρον να διερευνηθούν. Ο Filaseta είναι περίεργος για το αν οι “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητοι” πρώτοι υπάρχουν σε κάθε σύστημα αρίθμησης. Ο Juillerat, από την πλευρά του, αναρωτιέται αν “υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι που μετατρέπονται σε σύνθετο αριθμό, όταν εισάγουμε ένα ψηφίο μεταξύ δύο άλλων ψηφίων τους, αντί απλώς να αλλάξουμε ένα από αυτά”.
Μία άλλη «προκλητική» ερώτηση προέρχεται από τον Pomerance: Μετατρέπονται τελικά όλοι οι πρώτοι σε “ψηφιακά ευαίσθητους” ή “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητους” καθώς πλησιάζουμε στο άπειρο; Ισοδυνάμως, υπάρχει πεπερασμένο πλήθος πρώτων που δεν είναι “ψηφιακά ευαίσθητοι” (ή “ευρέως ψηφιακά ευαίσθητοι”); Πιστεύει ότι η απάντηση σε αυτή την ερώτηση, όπως και αν αυτή διατυπωθεί, πρέπει να είναι όχι. Ωστόσο, αυτός και ο Filaseta τη θεωρούν μία ενδιαφέρουσα εικασία, κάτι που κανένας από τους δύο δεν ξέρει πώς να αποδείξει χωρίς να στηριχθεί σε άλλη αναπόδεικτη εικασία.
“Η ιστορία της μαθηματικής έρευνας είναι ότι δεν γνωρίζεις εκ των προτέρων αν μπορείς να λύσεις ένα απαιτητικό πρόβλημα, ούτε εάν αυτό θα σε οδηγήσει σε κάτι σημαντικό”, αναφέρει ο Pomerance. “Δεν μπορείς να αποφασίσεις δηλαδή εκ των προτέρων: Σήμερα, θα κάνω κάτι σημαντικό. Προφανώς όμως, είναι υπέροχο όταν τα πράγματα τείνουν προς αυτή την κατεύθυνση”.
Γράφει ο: Steve Nadis
Επιμέλεια-Μετάφραση: Χρήστος Κ. Λοΐζος, Χρήστος Κατσανδρής
Πηγή: www.quantamagazine.org
