Καθημερινά, χειριζόμαστε αβέβαιες καταστάσεις. Έτσι — έστω και υποσυνείδητα — ερχόμαστε συνεχώς αντιμέτωποι με πιθανότητες. Επιπλέον, φαίνεται ότι ενστικτωδώς έχουμε μία καλή αίσθηση για τις πιθανότητες. Είναι όμως πράγματι αλήθεια;
Γνωρίζουμε ότι, αν στρίψουμε ένα νόμισμα 100 φορές, θα πάρουμε περίπου 50 κεφαλές και 50 γράμματα. Επίσης, η πιθανότητα να συναντήσουμε κάποιον φίλο όσο βρισκόμαστε σε διακοπές στο εξωτερικό είναι πολύ χαμηλή, αλλά όχι μηδενική. Παρ’ όλα αυτά, υπάρχουν καταστάσεις όπου οι σωστές προβλέψεις που προκύπτουν από την θεωρία πιθανοτήτων είναι εντελώς παράλογες.
Ας δούμε πέντε παράδοξα της θεωρίας πιθανοτήτων και της στατιστικής, τα οποία εξάγουν αποτελέσματα που μοιάζουν άτοπα, αλλά είναι πέρα για πέρα αληθή.
1. Το παράδοξο των γενεθλίων
Βρίσκεστε σε ένα πάρτι ενός φίλου και είναι παρόντα 30 άτομα. Ποια είναι η πιθανότητα δύο άνθρωποι να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα; Τι λέει το ένστικτό σας; Η πρώτη μου εκτίμηση ήταν ότι υπάρχει κάποια πιθανότητα να συμβεί αυτό, ωστόσο κάπως χαμηλή.
Τώρα, το παράδοξο των γενεθλίων στηρίζεται στην ακόλουθη ερώτηση:
Πόσοι άνθρωποι χρειάζεται να βρίσκονται στο πάρτι, ώστε να υπάρχει τουλάχιστον 50% πιθανότητα δύο άνθρωποι να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα;
Το παράδοξο υποθέτει ότι κάθε ημέρα του χρόνου είναι το ίδιο πιθανό να αποτελεί ημέρα γενεθλίων για ένα τυχαίο άτομο.
Η απάντηση που προκαλεί έκπληξη είναι 23! Μόνο 23 άτομα χρειάζεται να είναι παρόντα, ώστε να υπάρχει 50% πιθανότητα δύο άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα. Για το πάρτι γενεθλίων του φίλου μας, όπου παρευρίσκονται 30 άτομα, η πιθανότητα δύο από αυτούς να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι στην πραγματικότητα πάνω από 70%!
2. Το παράδοξο του Simpson
Ας υποθέσουμε ότι είμαστε συνέταιροι. Έχουμε πέντε διαφορετικές καφετέριες σε ολόκληρη την πόλη. Σαν στρατηγική marketing, μοιράζουμε κουπόνια στους πιο πιστούς πελάτες μας, ελπίζοντας ότι θα μας ανταποδώσουν τη χάρη αγοράζοντας ακόμα περισσότερο καφέ.
Ωστόσο, διαφωνούμε στο ύψος της αξίας των κουπονιών. Για να βρούμε την καλύτερη επιλογή, μοιράζουμε κουπόνια διαφορετικής αξίας. Θα συλλέξουμε δεδομένα για το κέρδος μας από τον κάθε πιστό πελάτη τον επόμενο μήνα.
Μετά από έναν μήνα, τα πράγματα είναι αρκετά ξεκάθαρα: Για κάθε ένα από τα πέντε καταστήματά μας, μπορούμε να δούμε την τάση: Όσο μεγαλύτερη ήταν η αξία του κουπονιού, τόσο μεγαλύτερο κέρδος είχαμε για κάθε έναν αντίστοιχο πελάτη.
Παρ’ όλα αυτά, συνδυάζοντας τα δεδομένα των πέντε καταστημάτων, η τάση φαίνεται να είναι η εντελώς αντίθετη: Όσο μικρότερη ήταν η αξία του κουπονιού, τόσο μικρότερο κέρδος είχαμε για κάθε έναν πελάτη. Πώς είναι δυνατόν;
Αυτό είναι ακριβώς το παράδοξο του Simpson:
Μία τάση που εμφανίζεται σε διαφορετικά σύνολα δεδομένων μπορεί να εξαφανιστεί, όταν τα δεδομένα συνδυαστούν.
3. Το παράδοξο των κουτιών του Bertrand
Αν γνωρίζετε το πρόβλημα του Monty Hall, αυτό το παράδοξο έχει αρκετές ομοιότητες. Μπροστά μας βρίσκονται τρία κουτιά:
Το ένα κουτί περιέχει δύο ασημένια νομίσματα, το άλλο περιέχει δύο χρυσά νομίσματα και το τρίτο περιέχει ένα χρυσό και ένα ασημένιο νόμισμα. Δεν γνωρίζουμε ποια νομίσματα περιέχονται σε ποιο κουτί. Επιλέγουμε τώρα ένα κουτί στην τύχη και με κλειστά μάτια παίρνουμε ένα νόμισμα από μέσα του. Είναι ένα χρυσό νόμισμα!
Η ερώτηση τώρα είναι:
Ποια είναι η πιθανότητα ότι το δεύτερο νόμισμα στο κουτί μας είναι επίσης χρυσό;
Η δική μου αφελής (και λανθασμένη) απάντηση όταν αντιμετώπισα το πρόβλημα για πρώτη φορά ήταν 1/2. Σκέφτηκα ότι εφόσον τραβήξαμε ένα χρυσό νόμισμα, το κουτί μας θα ήταν είτε αυτό που περιέχει τα δύο χρυσά νομίσματα είτε αυτό που περιέχει ένα χρυσό και ένα ασημένιο. Στην πρώτη περίπτωση, θα τραβούσαμε άλλο ένα χρυσό νόμισμα, ενώ στη δεύτερη όχι. Επομένως, υπέθεσα ότι η πιθανότητα πρέπει να είναι 1/2.
Η πραγματική πιθανότητα είναι 2/3.
Ο λόγος είναι ότι το πρώτο χρυσό νόμισμα που τραβήξαμε θα μπορούσε είτε να είναι το μοναδικό χρυσό νόμισμα στο κουτί που περιέχει το ένα χρυσό και το ένα ασημένιο, είτε να είναι το πρώτο χρυσό νόμισμα στο κουτί που περιέχει μόνο χρυσά νομίσματα, είτε να είναι το δεύτερο χρυσό νόμισμα στο κουτί που περιέχει μόνο χρυσά νομίσματα. Και στις δύο από τις τρεις αυτές περιπτώσεις, θα τραβήξουμε άλλο ένα χρυσό νόμισμα.
4. Το παράδοξο της γραβάτας
Μετά τις διακοπές των Χριστουγέννων, επιστρέφετε στο γραφείο σας φορώντας τη νέα γραβάτα που σας πήραν δώρο. Ο συνάδελφός σας, ο Βασίλης, πήρε επίσης δώρο Χριστουγέννων μία γραβάτα. Κανένας από τους δύο σας γνωρίζει την τιμή των γραβατών. Ξεκινάτε να συζητάτε για το ποιος πήρε το πιο ακριβό δώρο.
Ο Βασίλης και εσείς συμφωνείτε σε ένα στοίχημα: Θα ελέγξετε τις τιμές των γραβατών. Αυτός που πήρε την πιο ακριβή γραβάτα θα πρέπει να τη δώσει σε αυτόν με τη φθηνότερη γραβάτα.
Ο Βασίλης πιστεύει ότι το στοίχημα είναι με το μέρος του: Οι πιθανότητες νίκης/ήττας είναι 50/50. Αν χάσει, χάνει όσα αξίζει η γραβάτα του. Αν όμως κερδίσει, κερδίζει περισσότερα απ’ όσα αξίζει η γραβάτα του.
Αλλά από τη δική σας προοπτική, μπορείτε να κάνετε τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό και να συμπεράνετε ότι το στοίχημα είναι με το μέρος σας.
Προφανώς, το στοίχημα δεν είναι δυνατόν να είναι και με το δικό σας μέρος και με το μέρος του Βασίλη. Οπότε, πού είναι το λάθος;
Για να λύσουμε το παράδοξο της γραβάτας, χρειάζεται να συμπεριλάβουμε τις τιμές των γραβατών στον υπολογισμό: Ας υποθέσουμε ότι η μία γραβάτα κοστίζει 100€ και η δεύτερη κοστίζει 50€. Αν κερδίσει ο Βασίλης, κερδίζει μία γραβάτα αξίας 100€. Αν χάσει, αυτό σημαίνει ότι είχε την ακριβή γραβάτα, οπότε χάνει 100€. Οπότε, το πιθανό κέρδος και ζημία αλληλοαναιρούνται, οπότε στην πραγματικότητα το στοίχημα δεν είναι με το μέρος κανενός.
5. Τυχαίοι περίπατοι
Το τελευταίο γεγονός που αναφέρουμε εδώ δεν θεωρείται παράδοξο, αλλά πιστεύω ότι είναι τόσο συναρπαστικό και αινιγματικό, που πρέπει να συμπεριληφθεί στη λίστα.
Φανταστείτε ένα μυρμήγκι σε ένα φύλλο χαρτιού απείρου μεγέθους. Μετά από κάθε δευτερόλεπτο, το μυρμήγκι τυχαία περπατά προς μία από τις τέσσερις πιθανές κατευθύνσεις (εμπρός, πίσω, αριστερά ή δεξιά). Κάθε μία κατεύθυνση είναι ισοπίθανη. Αυτό το σενάριο ονομάζεται συμμετρικός δισδιάστατος τυχαίος περίπατος. Δισδιάστατος, διότι το χαρτί έχει δύο διαστάσεις.
Θα μπορούσαμε επίσης να φανταστούμε το μυρμήγκι όχι πάνω σε ένα φύλλο χαρτιού, αλλά σε μία κλωστή νήματος. Σε αυτή την περίπτωση, το μυρμήγκι μπορεί μόνο να κινηθεί εμπρός ή πίσω. Τότε, θα μιλούσαμε για μονοδιάστατο τυχαίο περίπατο.
Ομοίως, μπορούμε να φανταστούμε έναν τρισδιάστατο τυχαίο περίπατο όπου ο “περιπατητής” μας είναι ένα drone ή ένα πουλί που τυχαία κινείται σε έξι κατευθύνσεις (εμπρός/πίσω, αριστερά/δεξιά, πάνω/κάτω).
Η ερώτηση τώρα είναι η εξής:
Ποια είναι η πιθανότητα ο περιπατητής να γυρίσει στην αρχική του θέση;
Η απροσδόκητη απάντηση είναι ότι για το μυρμήγκι στο νήμα (μία διάσταση) και για το μυρμήγκι στο χαρτί (δύο διαστάσεις) η πιθανότητα είναι 1. Αλλά για το πουλί, υπάρχει η πιθανότητα να απομακρύνεται για πάντα χωρίς επιστροφή. Αυτό αληθεύει επίσης και για 4, 5, 6… διαστάσεις.
Μου φαίνεται εντυπωσιακό ότι ο περιπατητής πάντα επιστρέφει στη μία και στις δύο διαστάσεις, αλλά το μοτίβο χαλάει για τρεις ή περισσότερες διαστάσεις. Μπορώ να εμβαθύνω στα μαθηματικά του θέματος, αλλά πρέπει να παραδεχτώ ότι από πρακτικής άποψης, δεν τα καταλαβαίνω εντελώς. Ο μαθηματικός Shizuo Kakutani σχολίασε επ’ αυτού χαμογελώντας:
Ένας μεθυσμένος άνθρωπος θα βρει τον δρόμο για το σπίτι του, αλλά ένα μεθυσμένο πουλί μπορεί και να χαθεί για πάντα.
Shizuo Kakutani
Γράφει ο: Marcel Moosbrugger
Επιμέλεια-Μετάφραση: Χρήστος Κ. Λοΐζος, Χρήστος Κατσανδρής
Πηγή: towardsdatascience.com
Σημείωση: Η εισαγωγική εικόνα είναι του Andrea Piacquadio από το Pexels.
One comment