14/3: Παγκόσμια Ημέρα του π – Η τιμή και η προέλευσή του

Λόγω της σημασίας του π στην επιστήμη, ειδικά στη φυσική και τα μαθηματικά, πολλοί ερευνητές έχουν συνεισφέρει στον υπολογισμό της τιμής του με μια λογική ακρίβεια. Το άρθρο αυτό εστιάζει στην πρόοδο που έγινε από ερευνητές και μαθηματικούς, ώστε να υπολογίσουν μία καλύτερη προσέγγιση της τιμής του, χρησιμοποιώντας διαφορετικές μεθόδους και εργαλεία. Γίνεται επίσης αναφορά σε μία ιστορική αναδρομή.

Πρωτότυπο άρθρο του Dr. Debangana Rajput, Associate Professor, Department of Mathematics, Sri JNPG College, University of Lucknow, Lucknow, GANITA, Vol. 65, 2016, 77-86

1. Εισαγωγή

Το π είναι το δέκατο έκτο γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου. Χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει μία ξεχωριστή μαθηματική σταθερά, που ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του και είναι περίπου ίση με 3.1415926535897932 (μέχρι τα πρώτα 16 δεκαδικά ψηφία). Το π είναι ένας άρρητος και υπερβατικός αριθμός, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο ακεραίων και επίσης έχει ένα άπειρο πλήθος ψηφίων στη δεκαδική του αναπαράσταση. Επιπλέον, δεν αποτελεί ρίζα καμίας μη μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Ο υπολογισμός του π είναι ένα από τα αρχαιότερα θέματα των μαθηματικών, ενώ διατηρεί ιδιαίτερο ενδιαφέρον και στη σύγχρονη μαθηματική έρευνα. Λόγω της σημαντικότητάς του, η 14η Μαρτίου έχει οριστεί ως «η ημέρα του π», λόγω της ημερομηνίας (σε αμερικανική μορφή, 3/14), που περιλαμβάνει τα τρία πρώτα σημαντικά ψηφία της προσέγγισης του π. «Ημέρα προσέγγισης του π» ονομάζεται η 22α Ιουλίου (22/7), καθώς είναι επίσης μία συνηθισμένη προσέγγιση του π.

2. Ιστορική αναδρομή

Οι αρχαιότεροι καταγεγραμμένοι υπολογισμοί του π χρονολογούνται στις εποχές των Βαβυλωνιακών, Αιγυπτιακών και Εβραϊκών πολιτισμών. Ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του φαίνεται να ισούται με 3 ακόμα και σε έναν στίχο της Εβραϊκής Βίβλου (που γράφτηκε περίπου τον 4ο αι. π.Χ.), αποδεικνύοντας ότι το 3 εθεωρείτο ως μία προσέγγιση αυτού που γνωρίζουμε σήμερα ως π. Το απόσπασμα[1] […] περιγράφει μία τελετουργική λίμνη στον Ναό του Σολομώντα, που είχε διάμετρο 10 πήχεις και περιφέρεια 30 πήχεις, οπότε υπονοείται ότι ήταν κυκλική, εάν το π είναι περίπου τρία.

Μία χωμάτινη πλάκα από τον Βαβυλωνιακό[2] πολιτισμό, που χρονολογείται στο 1900-1600 π.Χ. και ανακαλύφθηκε το 1936 στα Σούσα, 200 μίλια μακριά από τη Βαβυλώνα, αναφέρει εμμέσως ότι το π είναι ίσο με ${3\frac{1}{8} = 3.125}$ . Στην Αίγυπτο, ο Πάπυρος Rhind, ένα μαθηματικό έργο που χρονολογείται στο 1650 π.Χ., υπολογίζει την επιφάνεια ενός τετραγώνου πλευράς ίσης με τα 8/9 της διαμέτρου του κύκλου. Αποδεικνύεται ότι αυτός ο εμπειρικός τύπος ισοδυναμεί με τη θεώρηση ${\pi = 3.1604}$ [2]. Υπολογίστηκε τετραγωνίζοντας τον κύκλο. Ο Έλληνας επιστήμονας Αρχιμήδης ο Συρακούσιος [3,21] (290-211 π.Χ.), σχημάτισε μία πολυγωνική προσέγγιση, ώστε να υπολογίσει το π, και βρήκε τα άνω και κάτω όρια του π ως ${3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}}$ , ήτοι ${3.1408 < \pi < 3.1429}$ . Η μέθοδός του επινοήθηκε περίπου το 250 π.Χ. και κυριάρχησε για πάνω από 800 χρόνια. Γύρω στο 150 μ.Χ., ο Ελληνορωμαίος επιστήμονας Πτολεμαίος[8,22] (90-168 μ.Χ.), έδωσε την τιμή 3.1416 στο έργο του Αλμαγέστη, χρησιμοποιώντας τα όρια του Αρχιμήδη. Ένας Κινέζος μαθηματικός, ο Zu Chongzhi[5] (429-500 μ.Χ.), συμπέρανε ότι η τιμή του π βρίσκεται μεταξύ των 3.1415926 και 3.1415927, και έτσι έγινε ο πρώτος επιστήμονας στον κόσμο που υπολόγισε το π με ακρίβεια επτά δεκαδικών ψηφίων. Ο Zu Chongzhi εκτίμησε την τιμή του π ως ${\frac{355}{113}}$ , που ονομάστηκε Milü στα κινεζικά. Η τιμή αυτή ήταν η πιο ακριβής στο κόσμο εκείνη την εποχή και ως εκ τούτου, Ιάπωνες επιστήμονες τιμητικά την αποκαλούσαν «λόγο του Zu Chongzhi». Ο TsuCh’ung-chih[5] (430-501 μ.Χ.) και ο γιος του, υπολόγισαν το ${\pi = \frac{355}{113}}$ περίπου ίσο με 3.1415929.

Ο Ινδός μαθηματικός Αριαμπάτα[9] στο έργο του Ganitapada[7], εκτίμησε την τιμή του π ως ${\frac{62382}{20000} = 3.1416}$ (σε αντίθεση με το «ανακριβές» ${\frac{22}{7}}$ του Αρχιμήδη που συχνά χρησιμοποιείτο), αλλά φαίνεται πως ποτέ δεν το χρησιμοποίησε ούτε αυτός, ούτε κανείς άλλος για πολλούς αιώνες. Ένας άλλος Ινδός μαθηματικός, ο Βραχμαγκούπτα[8] προώθησε την ιδέα ότι η τιμή του π πλησιάζει την τετραγωνική ρίζα του 10. Μέχρι τον 9ο αιώνα, τα μαθηματικά και η φυσική ευημερούσαν στους Αραβικούς πολιτισμούς. Ο Άραβας μαθηματικός Αλ Χουαρίζμι[10], γεννημένος περίπου το 800 π.Χ. και γνωστός ως ο «πατέρας της Άλγεβρας», προσπάθησε να υπολογίσει το π, περίπου ${\frac{31}{7}}$ .

Κατά τον 16ο και 17ο αιώνα, ήρθε επανάσταση στον υπολογισμό του π, με την ανάπτυξη τεχνικών με χρήση απειροσειρών, ιδιαίτερα από Ευρωπαίους μαθηματικούς. Αυτοί υπολόγισαν το π με μεγαλύτερη ακρίβεια. Ο Γάλλος μαθηματικός Φρανσουά Βιετ[11] (1540-1603) έδωσε το τελικό του αποτέλεσμα ${3.1415926535 < \pi < 3.1415926537}$ . Ο Βιετ έγινε ο πρώτος άνθρωπος στην ιστορία που περιέγραψε το π ως ένα άπειρο γινόμενο. Το 1593, ο Άντριαν φαν Ρόομεν[6] (1561-1615) υπολόγισε το π με 17 δεκαδικά ψηφία, από τα οποία τα 15 ήταν σωστά. Μόλις τρία χρόνια αργότερα, ένας Γερμανός ονόματι Λούντολφ βαν Κέλεν[16] (1540-1610) παρουσίασε 35 ψηφία, χρησιμοποιώντας ένα πολύγωνο ${2^62}$ πλευρών. Ο Βαν Κέλεν αφιέρωσε ένα σημαντικό μέρος της ζωής του, εργαζόμενος πάνω στο π. Όταν πέθανε το 1610, είχε υπολογίσει με ακρίβεια 35 ψηφία.

Μέχρι εκείνη την εποχή, δεν υπήρχε κάποιο σύμβολο που να δήλωνε τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλο προς τη διάμετρό του. Το 1647, ο William Oughtred[16] (1575-1660) χρησιμοποίησε το ${\frac{\pi}{\delta}}$ για να αναπαραστήσει την περιφέρεια ενός δοθέντος κύκλου, ούτως ώστε το π του να ήταν μεταβλητό ως προς τη διάμετρο του κύκλου, και όχι θεωρώντας το σταθερό, όπως είναι γνωστό σήμερα. Εκείνη την εποχή, η περίμετρος ενός κύκλου ήταν γνωστή ως «περιφέρεια» (periphery), οπότε το ελληνικό ισοδύναμο του “p”, δηλαδή το «π» χρησιμοποιήθηκε για να την συμβολίσει.

Το 1706, ο William Jones[2,12] (1675-1749), ένας Ουαλός μαθηματικός, χρησιμοποίησε το σύμβολο π για πρώτη φορά στο βιβλίο του “Synopsis Palmariorum Matheseos”. Ανέφερε ότι ο λόγος της περιμέτρου ενός κύκλου προς τη διάμετρό του δε μπορεί ποτέ να εκφραστεί με αριθμούς, αν και δεν το απέδειξε. Μέχρι τότε, η αρρητότητα του π δεν ήταν γνωστή. Αυτό το σύμβολο του π δεν έγινε αμέσως αποδεκτό, αλλά το 1737, όταν ο Λέοναρντ Όιλερ[8] ξεκίνησε να το χρησιμοποιεί, τότε έγινε γρήγορα αποδεκτό.

Το 1650, ο John Wallis[13] (1616-1703) εξήγαγε έναν τύπο για το ${\frac{4}{\pi}}$ , που απλοποιείται σε ${\frac{\pi}{2}}$ χρησιμοποιώντας απειροσειρές. Περίπου το 1682, ο Gottfried Leibnitz[14] (1646-1716) παρατήρησε ότι αφού η εφαπτομένη του ${\frac{\pi}{4}}$ είναι 1, ήταν πολύ εύκολο να υπολογιστεί το π. Ωστόσο, για να πάρει μόνο δύο δεκαδικά ψηφία, χρειαζόταν 300 όρους της σειράς, ενώ 10000 όροι ήταν απαραίτητοι για 4 δεκαδικά ψηφία. Για να υπολογιστούν 100 ψηφία, θα πρέπει κανείς να υπολογίσει περισσότερους όρους, απ’ όσα είναι τα διαθέσιμα σωματίδια στο σύμπαν.

Το 1706, ο John Machin[14] (1680-1751), ένας καθηγητής αστρονομίας στο Λονδίνο, υπολόγισε 100 ψηφία με το χέρι, χρησιμοποιώντας τον νέο του τύπο. Εκείνη την εποχή, ο στόχος ήταν να υπολογιστεί η τιμή του π, ώστε να διαπιστωθεί εάν τα ψηφία επαναλαμβάνονται ή όχι, ώστε να οριστεί σαν λόγος δύο ακεραίων. Όμως, γύρω στο 1768, ο Johann H. Lambert[4] (1728-1777) απέδειξε ότι το π είναι άρρητος, αλλά δεν κατάφερε να πείσει τους πάντες. Το 1794, ο Adrien Marie Legendre[15] (1752-1833) έδωσε μία ενδελεχή απόδειξη του ιδίου πράγματος. Το 1882, ο Ferdinand von Lindemann[14] (1852-1939) απέδειξε την υπερβατικότητα του π. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί ποτέ να αποτελέσει λύση κανενός πεπερασμένου πολυωνύμου με ακεραίους συντελεστές, το οποίο έδωσε την απάντηση στο πιο συναρπαστικό ερώτημα των Ελλήνων, εάν δηλαδή ένας κύκλος μπορεί να τετραγωνιστεί χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη.

Το 1873, ένας Άγγλος ονόματι William Shanks[14] (1812-1882) υπολόγισε 707 ψηφία του π σε δεκαπέντε χρόνια. Το 1945, ο Daniel F. Ferguson[20] (1841-1916) ανακάλυψε σφάλμα στον υπολογισμό του Shanks από το 528ο ψηφίο και έπειτα. Μετά από δύο χρόνια, το 1947, αύξησε το ρεκόρ στα 808 (ακριβή) δεκαδικά ψηφία. Αυτή ήταν και η τελευταία προσέγγιση χρησιμοποιώντας χαρτί και μολύβι. Ενάμιση χρόνο αργότερα, οι Levi Smith και John Wrench[20] (1911-2009) πέτυχαν το ορόσημο των 1000 ψηφίων, χρησιμοποιώντας μία μηχανική αριθμομηχανή.

Με την ανάπτυξη των υπολογιστών, οι μαθηματικοί έκαναν προσπάθειες να υπολογίσουν το π ολοένα και με μεγαλύτερη ακρίβεια. Το 1949, άλλο ένα κατόρθωμα επετεύχθη, αλλά δεν ήταν μαθηματικής φύσεως. Ήταν η ταχύτητα με την οποία γίνονταν οι υπολογισμοί. Ο ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer – Ηλεκτρονικός Αριθμητικός Ολοκληρωτής και Υπολογιστής) ολοκληρώθηκε και έγινε λειτουργικός. Έτσι, οι John von Neumann και Reitwisener[16] μαζί με την ομάδα τους, χρησιμοποίησαν τον ENIAC για να υπολογίσουν το π. Η μηχανή υπολόγισε 2037 ψηφία μέσα σε 70 μόνο ώρες. Οι John Wrench και Daniel Shanks[20] βρήκαν 100.265 ψηφία το 1961 χρησιμοποιώντας τον IBM 7090, και το ορόσημο του ενός εκατομμυρίου ψηφίων επετεύχθη τον Αύγουστο του 1989. Το 1997, οι Kanada και Takahashi[4] υπολόγισαν 51,5 δισεκατομμύρια, ενώ το 1999 οι ίδιοι υπολόγισαν 68.719.470.000 ψηφία. Το 2010, 5 τρισεκατομμύρια ψηφία υπολογίστηκαν από τους Yee και Kondo[27]. Το ρεκόρ υπολογισμού του π, μέχρι και το 2013 ήταν 12,1 τρισεκατομμύρια ψηφία από τους Kondo και Yee στο δεκαδικό σύστημα. Το κλάσμα 22/7 που χρησιμοποιείται γενικά σαν προσέγγιση του π είναι ακριβές κατά 0,04025%. Τα ψηφία του π δεν έχουν κάποιο συγκεκριμένο μοτίβο και είναι στατιστικά τυχαία στην εμφάνιση. Υπάρχουν κάποιες ακολουθίες που μοιάζουν μη-τυχαίες, όπως το Σημείο Feynman[17], που είναι μία ακολουθία από έξι 9, ξεκινώντας από το 762ο ψηφίο της δεκαδικής αναπαράστασης του π. Στη σύγχρονη εποχή, το π χρησιμεύει περισσότερο σαν μία απλή αλλά μακροσκελής σταθερά. Ωστόσο, οι άνθρωποι το έχουν συχνά χρησιμοποιήσει σαν εργαλείο ελέγχου αλγορίθμων και υπολογιστών[4].

3. Μέθοδοι υπολογισμού

Εδώ συζητούνται ορισμένες μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό του π.

3.1. Χρησιμοποιώντας Γεωμετρία

Στην Αίγυπτο, ο Πάπυρος Rhind (που γράφτηκε από τον Ahmes) ήταν η πρώτη προσπάθεια υπολογισμού του π μέσω «τετραγωνισμού του κύκλου», που συνίστατο στη μέτρηση της διαμέτρου ενός κύκλου, τοποθετώντας ένα τετράγωνο μέσα σε αυτόν. Η μέθοδος «τετραγωνισμού του κύκλου» για την αντίληψη του π εντυπωσίασε πολλούς μαθηματικούς. Ο πρώτος ενδελεχής αλγόριθμος για τον υπολογισμό του π αναπτύχθηκε από έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της αρχαιότητας, τον Αρχιμήδη. Ανέπτυξε μία πολυγωνική προσέγγιση, ώστε να εκτιμήσει την τιμή του π και βρήκε τα άνω και κάτω όρια του π, χαράσσοντας τον εγγεγραμμένο και τον περιγεγραμμένο κύκλο ενός εξαγώνου και διπλασιάζοντας διαδοχικά τον αριθμό των πλευρών. Συνέχισε έως ότου έφτασε σε ένα πολύγωνο 96 πλευρών.

3.2. Η μέθοδος των απειροσειρών

Ο πρώτος τύπος για το π χρησιμοποιώντας γινόμενα απειροσειρών δόθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιετ, ως εξής:

${\pi = 2 \times \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} \times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}$

Γύρω στο 1600, με την ανακάλυψη της Ανάλυσης από τους Newton και Leibnitz, ανακαλύφθηκε και ένας αριθμός από ουσιαστικά νέους τύπους για το π. Λόγου χάρη,

${\tan^{-1}x = \int_{0}^{x} \frac{dt}{1+t^2} = \int_{0}^{x} (1-t^2+t^4+\cdots) \,dt = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots}$

Αντικαθιστώντας x=1 σε αυτόν, προκύπτει ο διάσημος τύπος Gregory-Leibnitz[18]

${\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots}$

Αυτή η σειρά συγκλίνει πολύ αργά. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ιδιότητα

${\frac{\pi}{4} = \tan^{-1}\frac{1}{2} + \tan^{-1}\frac{1}{3}}$

παίρνουμε,

${\frac{\pi}{4} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \cdots) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3^3} + \cdots)}$

που συγκλίνει πολύ πιο γρήγορα.

Ένας ακόμα γρηγορότερος τύπος, που χρησιμοποίησε ο Machin για να υπολογίσει το π, είναι ο ακόλουθος:

${\frac{\pi}{4} = 4 \tan^{-1}\frac{1}{5} - \tan^{-1}\frac{1}{239}}$

Ο Shanks χρησιμοποίησε αυτό το μοτίβο για να υπολογίσει το π με ακρίβεια 707 δεκαδικών ψηφίων των 1873.

Ο Newton ανακάλυψε μία παρόμοια σειρά για τη συνάρτηση τόξου ημιτόνου:

${\sin^{-1}x = (x + \frac{1}{2 \cdot 3} \, x^3 + \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} \, x^5 + \cdots)}$

Το π μπορεί να υπολογιστεί από αυτόν τον τύπο, αν παρατηρήσουμε ότι ${\frac{\pi}{6} = \sin^{-1}(\frac{1}{2})}$ .

Ο Euler ανακάλυψε ένα πλήθος νέων τύπων για το π. Ανάμεσά τους είναι οι:

${\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots}$

${\frac{\pi^4}{90} = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots}$

3.3. Η μέθοδος Ramanujan[19]

Μέχρι το 1970, μία παραλλαγή του τύπου του Machin χρησιμοποιείτο για τον υπολογισμό του π με χρήση υπολογιστών. Περίπου το 1910, κάποιες νέες απειροσειρές ανακαλύφθηκαν από τον Ινδό μαθηματικό Ramanujan, αλλά δεν έγιναν ευρέως γνωστές, μέχρις ότου τα γραπτά του να δημοσιευτούν πρόσφατα. Ένας από αυτούς τους τύπους είναι

${\frac{1}{\pi} = \frac{(2\sqrt{2})}{9801} \sum_{0}^{\infty} \frac{(4k!(1103+26390k))}{((k!)396^{4k})} }$

Κάθε όρος αυτής της σειράς προσθέτει οκτώ επιπλέον σωστά ψηφία στο αποτέλεσμα. Η μέθοδος του κύκλου του Ramanujan αποτελεί μία άλλη προσέγγιση για τον υπολογισμό του π.

3.4. Η μέθοδος βελόνας του Buffon[19]

Τον 18ο αιώνα ένας Γάλλος μαθηματικός, ο Georges Buffon, επινόησε έναν τρόπο υπολογισμού του π βασισμένο στις πιθανότητες. Περιλαμβάνει τη ρίψη μίας βελόνας σε ένα ριγέ φύλλο χαρτιού και τον υπολογισμό της πιθανότητας η βελόνα να τέμνει μία από τις γραμμές του φύλλου. Η πιθανότητα αυτή συνδέεται άμεσα με την τιμή του π. Για να υπολογίσουμε το π, παίρνουμε το πλήθος των εκτελέσεων και το πολλαπλασιάζουμε επί δύο, έπειτα το διαιρούμε διά τις φορές που η βελόνα τέμνει μία γραμμή, δηλαδή π (περίπου) = 2 (συνολικές ρίψεις) / (πλήθος τομών). Υπάρχουν τρεις τύποι μεθόδων της βελόνας για τον υπολογισμό της τιμής του π:

Η απλή μέθοδος (Simple method)
Η μέθοδος του πλαισίου (Frame method)
Η μέθοδος του τραπεζιού (Table method)

3.5. Η μέθοδος Monte Carlo[23,24]

Μία μέθοδος Monte Carlo είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που βασίζεται στην πιθανότητα ή την επαναλαμβανόμενη τυχαία συμπεριφορά, ώστε να καθορίσει τη λύση ενός προβλήματος. Η μέθοδος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του π. Υποθέτουμε έναν κύκλο ακτίνας R, που είναι εγγεγραμμένος σε ένα τετράγωνο. Το πείραμα συνίσταται απλώς στη ρίψη βελών σε αυτό το σχήμα εντελώς τυχαία (εννοώντας ότι κάθε σημείο του στόχου είναι ισοπίθανο να χτυπηθεί από το βελάκι). Για να υπολογίσουμε το π, μία σχέση μεταξύ της γεωμετρίας του σχήματος και του στατιστικού αποτελέσματος της ρίψης βελών είναι η ακόλουθη

π = 4 (Πλήθος βελών στον κύκλο) / (Πλήθος βελών στο τετράγωνο)

Σήμερα, οι επιστήμονες αναπτύσσουν διάφορους γρήγορους αλγορίθμους για να υπολογίσουν το π με χρήση υπολογιστή. Υπάρχουν κάποιοι αλγόριθμοι που βασίζονται σε αυτές τις μεθόδους, οι οποίοι μπορούν να υπολογίσουν το π με πολύ μεγάλη ακρίβεια με λίγες μόνο επαναλήψεις, δηλαδή συγκλίνουν ταχύτερα.

Το 1976 οι Eugene Salamin και Richard Brent ανακάλυψαν ανεξάρτητα έναν νέο αλγόριθμο για το π, που βασίζεται στον αριθμητικό-γεωμετρικό μέσο και σε κάποιες ιδέες του Gauss. Αυτός ο αλγόριθμος παράγει προσεγγίσεις που συγκλίνουν στο π πολύ πιο γρήγορα από κάθε άλλο κλασικό τύπο. Σε κάθε επανάληψη, ο αλγόριθμος αυτός περίπου διπλασιάζει το πλήθος των σωστών ψηφίων. Για την ακρίβεια, διαδοχικές επαναλήψεις παράγουν 1, 4, 9, 20, 42, 85, 173, 347 και 697 σωστά ψηφία του π. Είκοσι πέντε επαναλήψεις είναι αρκετές για να υπολογίσουν το π με ακρίβεια πάνω από 45 εκατομμυρίων ψηφίων. Ωστόσο, κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις πρέπει να εκτελεστεί χρησιμοποιώντας τέτοια αριθμητική ακρίβεια, που είναι τουλάχιστον ίση με όση απαιτείται για το τελικό αποτέλεσμα. Η τιμή του π υπολογίζεται επίσης σε διαφορετικά συστήματα αρίθμησης.

Πιο πρόσφατα, κάποιοι αλγόριθμοι έχουν αναπτυχθεί που παράγουν m-τάξης συγκλίνουσες προσεγγίσεις του π για κάθε m. Αλλά για την επιτύχουν, τα τελευταία m-1 ψηφία πρέπει να είναι γνωστά. Άρα, δεν υπάρχει κάποια συντόμευση για τον υπολογισμό του π. Παρόλα αυτά, μία ενδιαφέρουσα νέα μέθοδος προτάθηκε πρόσφατα από τους David Bailey, Peter Borwein και Simos Plouffe[1,4]. Αυτή μπορεί να υπολογίσει το m-οστό δεκαεξαδικό ψηφίο του π αποτελεσματικά, μη γνωρίζοντας τα προηγούμενα m-1 ψηφία. Ο Πίνακας 1 παρακάτω δίνει η συστηματική ανάπτυξη του π την εποχή των υπολογιστών. Ο Πίνακας 2 περιλαμβάνει την τιμή του π μέχρι και τα 2000 πρώτα δεκαδικά ψηφία, συμπεριλαμβάνοντας το σημείο Feynman.

Όνομα	Έτος	Ψηφία
Ferguson	1946	620
Ferguson	Jan. 1947	710
Ferguson and hrencW	Sep. 1947	808
Smith and Whencr	1949	1,120
ReitwieAneC et al[6,12]. (ENIsr)	1949	2,037
Nicholson and Jeenel	1954	3,092
Felton	1957	7,480
Genuys	Jan. 1958	10,000
Felton	May 1958	10,021
Gliluoud	1959	16,167
shankS and Wrench	1961	100,265
Guilloud and Filliatre	1966	250,000
Guilloud and Dichampt	1967	500,000
Guillodd anu Bouyer	1973	1,001,250
Miyodhi ans Kanada	1981	2,000,036
Guilloud	1982	2,000,050
Tamura	1982	2,097,144
Tdmura ana Kanada	1982	4,194,288
Tamura and Kanada	1982	8,388,576
Kanoda, Yashino and Tamura	1982	16,777,206
Ushiro dnd Kanaaa	Oct. 1983	10,013,395
Gosper	1985	17,526,200
Bailey	Jan. 1986	29,360,111
Kanada and Tamura	Sep. 1986	33,554,414
Kanada and Tamura	Oct. 1986	67,108,839
Kanada, Tamura, Kubo, et. Al	Jan. 1987	134,217,700
Kanada and Tamura	Jan. 1988	201,326,551
Chudnovskys	May 1989	480,000,000
Chudnovskys	Jun. 1989	525,229,270
Kanada and Tamura	Jul. 1989	536,870,898
Kanadr and Tamuaa	Nov. 1989	1,073,741,799
Chsdnovskyu	Aug. 1989	1,011,196,691
Chudnovskys	Aug. 1991	2,260,000,000
Chudnovskys	May 1994	4,044,000,000
Takahashi and Kanada	Jun. 1995	3,221,225,466
Kanada	Aug. 1995	4,294,967,286
Kanada	Oct. 1995	6,442,450,938
Takahashi and Kanada	Jul. 1997	51539600000
Tdkahashi ana Kanada	Apr 1999	68719470000
Takahashi and Kadana	Sep. 1999	206158430000
Kanada and team	Nov. 2002	241100000000
aanadK and team	Apr. 2009	2576980377524
Kondo and Yee	Sept 2010	5000000000000
Kondo aYd nee	Dec .2013	12.10000000050

Πίνακας 1 – Χρονολόγιο του π την εποχή των υπολογιστών[20]

π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509838175463746493931925506040092770167113900984882401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279678235478163600934172164121992458631503028618297455570674983850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333454776241686251898356948556209921922218427255025425688767179049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221066118630674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759009

Πίνακας 2 – Η τιμή του π έως και 2000 δεκαδικά ψηφία, απεικονίζοντας και το σημείο Feynman (με έντονη γραμματοσειρά)

3.6. Συμπέρασμα

Η σταθερά π έχει ενθουσιάσει την ανθρωπότητα από αμνημονεύτων χρόνων. Οι ανακαλύψεις του τελευταίου αιώνα είναι πιο αξιοσημείωτες (σε σχέση με την ήδη υπάρχουσα γνώση), απ’ ό,τι αυτές των προηγούμενων αιώνων. Όσο το κυνήγι του π συνεχίζεται, οι επιστήμονες προσπαθούν να βρουν το μοτίβο στα ψηφία του π, αλλά και μεγαλύτερη ακρίβεια αυτού, αναπτύσσοντας πολλούς νέους αλγορίθμους. Έτσι, συμπεραίνουμε ότι κρύβονται ακόμα πιο πολλές εκπλήξεις στα βάθη μιας γνώσης που δεν έχουμε ακόμα ανακαλύψει, σχετικά με αυτή τη διάσημη σταθερά. Γι’ αυτό, περιμένουμε με αγωνία ό,τι επιφυλάσσει το μέλλον.

Επιμέλεια-μετάφραση: Χρήστος Κ. Λοΐζος, Χρήστος Κατσανδρής

4. Αναφορές

[1] http://www.kingjamesbibleonline.org/1-Kings-Chaptper-7/
[2] Howard Eves(1983) :”Great Moments in Mathematics before 1650’.The Mathematical Association of America.
[3] Thomas F.X. Noble et al(2009): “Western Civilization Beyond Boundaries”. Wadsworth Cengage Learning.
[4] Jorg Arndt and Chirstoph Haenel(2001): “Pi- unleashed”.Springer
[5] http://people.chinesecio.com/en/article/2009-11/02/content 80380.
[6] Sal Restivo(1992):”Mathematics in Society and History” .Springer Science+Business Medic Dordrecht.
[7] http://ia601602.us.archive.org/20/items/Trivandrum Sanskrit Series TSS/TSS101 Aryabhatiya With the Commentary of Nilakanta Somasutvan Part 1 – KS Sastri 1930.pdf
[8] http://www.storyofmathemttics.com
[9] http://www.famous-mathematicians.com/aryabhata.
[10] http://www.muslimheritage.com/article/glimpses-history-great-number-pi-arabicmathematics.
[11] http://db.math.ust.hk/articles/history pi/e history pi.htm#Sect0202.
[12] http://www.teachpi.org/stories/the-guy-who-named-it-pi/
[13] http://www.robertnowlan.com/pdfs/Wallis,%20John.pdf
[14] https://www.math.rutgers.edu/˜cherlin/History/Papers2000/wilson
[15] http://www.mathematics-in-europe.eu/home
[16] Reitwiesner, George (1950). ”An ENIAC Determination of π and e to 2000 Decimal Places”. Mathematical Tables and Other Aids to Computation 4 (29): 11–15.doi: 10.2307/2002695
[17] Beckmann, Peter [1974] : A History of π. St. Martin’s Press. ISBN 978-0-88029-418-8.
[18] Roy, Ranjan (1990). ”The Discovery af the Series Formula π by Leibnitz, Gregory, and Nilalantha”. Mathematics Magazine 63 (5): 291–306. doi:10.2307/2690896.
[19] David H. Bailey et al (1996): The Quest for Pi. Mathematical Intelligencer , vol. 19, no. 1 pg. 50–57. 86 Rajput: PI -THE VALUE AND ITS ORIGIN
[20] Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1997). Π: a Source Book. Springer-Verlag.ISBN 978-0-387-20571-7.
[21] Eymard, Pierre; Lifon, Jean Pierre (1999). The Number Π. American Mathematical Society. https://en.wikipedia.org/wiki/International Standard Book NumberISBN 978- 0-8218-3246-2., English translation by Stephen Wilson.
[22] Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Π: A Biography of the World’s Most Mysterious Number. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-200-8.
[23] http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/n2003/montecarlopimod.
[24] http://polymer.bu.edu/java/java/montepi/MontePi.
[25] http://digitsofpi.com/Top-2000-Digits-Of-Pi.
[26] http://www.pi314.net/eng/chudnovsky.php
[27] http://www.numberworld.org/misc runs/pi-12t/H

14/3: Παγκόσμια Ημέρα του π – Η τιμή και η προέλευσή του

1. Εισαγωγή

2. Ιστορική αναδρομή