Η βασίλισσα είναι το ισχυρότερο κομμάτι σε μία σκακιέρα. Σε σχέση με οποιοδήποτε άλλο κομμάτι αυτής (συμπεριλαμβανομένου και του βασιλιά), μπορεί να κινείται σε ό,ποιο πλήθος τετραγώνων επιθυμεί κάθετα, οριζόντια ή διαγώνια.
Θεωρήστε τώρα το ακόλουθο γκαμπί της βασίλισσας: εάν τοποθετήσετε οκτώ τέτοιες σε μία κλασική σκακιέρα 8×8 τετραγώνων, με πόσους τρόπους μπορούν να διαταχθούν ώστε καμία να μην μπορεί να επιτεθεί στις υπόλοιπες; Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν 92 τρόποι. Τι γίνεται όμως αν τοποθετήσετε έναν ακόμα μεγαλύτερο αριθμό βασιλισσών σε μία σκακιέρα του ίδιου σχετικού μεγέθους, ας πούμε, 1000 βασίλισσες σε μία 1000 x 1000 σκακιέρα, ή ακόμα και ένα εκατομμύριο βασίλισσες σε μία όμοιου μεγέθους σκακιέρα;
Η κλασική έκδοση του μαθηματικού προβλήματος των n-βασιλισσών εμφανίστηκε πρώτη φορά σ’ ένα γερμανικό περιοδικό σκακιού το 1848 ως το πρόβλημα των 8 βασιλισσών, και η σωστή απάντηση προέκυψε λίγα χρόνια αργότερα. Τότε, το 1869, η πιο εκτεταμένη έκδοση του προβλήματος εμφανίστηκε και παρέμεινε αναπάντητη μέχρι το τέλος του περσινού έτους, όταν ένας μαθηματικός του Harvard εισήγαγε μία σχεδόν καθοριστική απάντηση.
Ο Michael Simkin, ένας μεταδιδακτορικός συνεργάτης στο Κέντρο Μαθηματικών Επιστημών και Εφαρμογών, υπολόγισε ότι υπάρχουν περίπου (0.143n)n τρόποι τοποθέτησης των βασιλισσών, ώστε καμία να μην μπορεί να επιτεθεί σε καμία, πάνω σε μία n x n σκακιέρα.
Η τελική απάντηση του Simkin δεν δίνει την ακριβή απάντηση, αλλά δίνει την καλύτερη προσέγγιση που θα μπορούσε να δοθεί μέχρι τώρα. Ο συντελεστής 0.143, ο οποίος αναπαριστά μία μέση τιμή απροσδιοριστίας στο πιθανό αποτέλεσμα της μεταβλητής, πολλαπλασιάζεται επί τον αριθμό n και έπειτα υψώνεται εις την n-οστή δύναμη, ώστε να δώσει την απάντηση!
Στην τεράστια σκακιέρα με το ένα εκατομμύριο βασίλισσες, για παράδειγμα, το 0.143 πολλαπλασιάζεται επί ένα εκατομμύριο, δίνοντας 143.000. Ο αριθμός αυτός υψώνεται εις την εκατομμυριοστή δύναμη, δηλαδή πολλαπλασιάζεται επί τον εαυτό του ένα εκατομμύριο φορές. Η τελική απάντηση είναι ένας αριθμός με πέντε εκατομμύρια ψηφία!!!
Ο Simkin κατάφερε να βρει την παραπάνω εξίσωση, κατανοώντας το μοτίβο που υπεισέρχεται στο πώς μεγάλοι αριθμοί βασιλισσών θα πρέπει να κατανεμηθούν στις τεράστιες σκακιέρες – αν δηλαδή θα συγκεντρώνονταν στο κέντρο ή στις γωνίες – και έπειτα εφαρμόζοντας γνωστές μαθηματικές τεχνικές και αλγορίθμους.
«Εάν μου λέγατε ότι θέλετε να βάλετε τις βασίλισσες με έναν συγκεκριμένο τρόπο στη σκακιέρα, τότε θα μπορούσα να αναλύσω τον αλγόριθμο και να σας πω πόσες λύσεις υπάρχουν που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη», είπε ο Simkin. «Με τυπικούς όρους, το παραπάνω πρόβλημα ανάγεται σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης».
Εστιάζοντας στα τετράγωνα που έχουν τις υψηλότερες πιθανότητες να είναι κατειλημμένα, ο Simkin συμπέρανε πόσες βασίλισσες πρέπει να υπάρχουν σε κάθε μέρος της σκακιέρας και κατέληξε σε έναν τύπο που δίνει ένα έγκυρο πλήθος διατάξεων. Οι υπολογισμοί έδωσαν σε αυτό που ονομάζουμε κάτω όριο – το ελάχιστο πλήθος πιθανών διατάξεων.
Ο Simkin βρήκε ότι η απάντηση για το κάτω όριο ταιριάζει σχεδόν απόλυτα με την απάντηση για το άνω όριο. Με απλά λόγια, έδειξε ότι η ακριβής απάντηση είναι φραγμένη κάπου ανάμεσα στα δύο όρια σε έναν σχετικά στενό μαθηματικό χώρο.
Ο Simkin δούλευε πάνω στο πρόβλημα των n-βασιλισσών για σχεδόν πέντε χρόνια. Ο ίδιος λέει ότι είναι πολύ κακός σκακιστής, αλλά ψάχνει τρόπους να βελτιώσει το παιχνίδι του. «Εξακολουθώ να απολαμβάνω την πρόκληση του παιχνιδιού, αλλά πιστεύω ότι τα μαθηματικά σε δοκιμάζουν περισσότερο» είπε, ο οποίος ενδιαφέρθηκε για το πρόβλημα επειδή θα μπορούσε να εφαρμόσει ανακαλύψεις από το πεδίο των μαθηματικών στο οποίο εργαζόταν, τη Συνδυαστική, που εστιάζει στην απαρίθμηση και σε προβλήματα μεταθέσεων και διατάξεων.
Η εργασία πάνω στο πρόβλημα ήταν μία δοκιμασία υπομονής και αντοχής. Τέσσερα χρόνια πριν, ως διδακτορικός φοιτητής στο Εβραϊκό Πανεπιστήμιο της Ιερουσαλήμ, επισκέφθηκε τον μαθηματικό και εξαιρετικό παίκτη του σκακιού Zur Luria στο Ελβετικό Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Τεχνολογίας, στη Ζυρίχη. Οι δύο τους συνεργάστηκαν και ανέπτυξαν νέες τεχνικές, ώστε να βρουν μία απάντηση. Στο τέλος, μετά από δύο χρόνια δουλειάς, κατέληξαν μονάχα σε ένα καλύτερο κάτω όριο και ήξεραν ωστόσο, πώς κάτι τους ξεφεύγει.
Ο Simkin ολοκλήρωσε το διδακτορικό του το 2020 και μετακόμισε στη Βοστώνη, ώστε να ξεκινήσει να εργάζεται στο Harvard. Το πρόβλημα παρέμενε πάντοτε στο πίσω μέρος του μυαλού του, και επέστρεψε σε αυτό, όταν συνειδητοποίησε ότι έπρεπε να εστιάσει την προσοχή του στα τετράγωνα που θα βρίσκονταν οι βασίλισσες, αντί να δώσει «ίδια αξία» σε κάθε τετράγωνο που αυτή μπορεί να κινηθεί.
Παρόλο που είναι θεωρητικά πιθανό να πλησιάσουμε λίγο περισσότερο σε μία πιο ακριβή λύση, ο Simkin είναι προς το παρόν χαρούμενος να αφήσει σε κάποιον άλλο να προσπαθήσει να δώσει λύση.
«Θεωρώ ότι προσωπικά τελείωσα με το πρόβλημα των n-βασιλισσών για κάποιο διάστημα, όχι επειδή δεν υπάρχει κάτι άλλο που μπορώ να κάνω με αυτό, αλλά απλώς επειδή τελευταία βλέπω σκάκι μέχρι και στον ύπνο μου, και είμαι έτοιμος να προχωρήσω με τη ζωή μου», είπε χαρακτηριστικά ο ίδιος.
Πηγή: phys.org , Harvard University
Επιμέλεια – Μετάφραση: Χρήστος Κ. Λοΐζος, Χρήστος Κατσανδρής
